Задача 1.29Гомоморфизм из

в мультипликативную группу

, переводящий

в

совпадает с определителем.
Решение1) Обозначим через

матрицу, переставляющую строки

и

(если она действует слева). Разложим оператор

в произведение матриц у которых на всей диагонали, кроме одного места единицы, а на оставшемся месте

стоит элемент

. Теперь подействуем на каждый член произведения слева и справа матрицей

(это не повлияет на значение образа) и получим, что образ матрицы, у которой на месте (1,1) стоит

на оставшихся диагональных местах

, а на остальных местах

равен

.
2) Так как любой элемент имеет корень степени

то можно сказать, что образ матрицы, у которой на всех местах на диагонали, кроме одного, стоят единицы, а на оставшемся

равен

. Из этого немедленно следует, что образ диагональной матрицы равен произведению элементов на диагонали. А из этого следует что из строк и столбцов можно выносить константы.
3) Теперь пусть

это матрица у которой на диагонали стоят единицы, а на месте

стоит

(матрица, прибавляющая к строке

строку

умноженную на

). Матрицы

определяют гомоморфизм из

в

, т.е. если

то и все

, докажем, что так оно и есть. Пусть

, тогда

Вынесем из строки

двойку, а затем из столбца

вынесем

, образ гомоморфизма не изменился и мы получили, что

отсюда

.
4) Образ матрицы транспозиции равен либо

, либо

, потому как её квадрат - единичная матрица, предположим, что он равен

, т.е. что перестановки не меняют образ, тогда

Что, как мы уже выяснили, неверно.
5) мы получили, что при элементарных преобразованиях матрицы значения этого гомоморфизма изменяются точно так же, как и определитель, с помощью них можно привести матрицу к диагональному виду, на таких матрицах определитель и этот гомоморфизм совпадают.
Немного сбивчивое получилось изложенее, если бы в живую рассказывать было бы, наверное, удобнее.