О "последнем" утверждении П. Ферма

[ljubarcev]

О «последнем» утверждении П. Ферма
«На полях книги 2 Диофанта «Арифметика» сразу за задачей 8, в
которой требуется «данное число, которое является квадратом, записать в виде суммы двух других квадратов» Пьер де Ферма написал: «с другой стороны, невозможно записать куб в виде суммы двух кубов, или четвертую степень - в виде суммы двух четвертых степеней, или, вообще , любое число, которое является степенью, большей чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его
уместить» [1] , страница 14.
Используя известное доказательство теоремы
Пифагора для любых двух произвольных отрезков
a и (b - c) получим уравнение
a^2 + (c – b)^2 = s^2 (1)
Рассмотрим это уравнение в целых числах.
Возьмём три целочисленных отрезка
a = x^n, b = y^n, c = z^n , тогда равенство (1) приобретает
вид: x^(2n) + (z^n – y^n)^2 = s^2 (2).
Предположим, что существует равенство
z^n = x^n + y^n. Тогда, подставляя эти значения в
формулу (2) получим:
x^(2n) + (z^n – y^n)^2 = s2 , так как по предположению
z^n - y^n =x^n, то должно быть x^(2n) + x^(2n) = s^2
и 2 (x^n)^2 = s2 .
Но квадрат целого числа не может быть равен двум квадратам
другого целого числа – вспомним доказательство Эвклида иррациональности числа, равного корню квадратному из двух .
Таким образом, предположение существования равенства
z^n = x^n + y^n не верно, то есть число в n степени не
может быть представлено в виде суммы двух чисел в той же
степени - что и утверждал П. Ферма.
Литература; [1] Г. Эдвардс, «Последняя теорема Ферма».
издательство «Мир», Москва, 1980 год

[Someone]

ljubarcev писал(а):

О «последнем» утверждении П. Ферма
...
и 2 (x^n)^2 = s2 .
Но квадрат целого числа не может быть равен двум квадратам
другого целого числа...

А Вам кто-то сказал, что $s$ - целое число, или Вы сами догадались?

[ljubarcev]

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

О «последнем» утверждении П. Ферма
...
и 2 (x^n)^2 = s2 .
Но квадрат целого числа не может быть равен двум квадратам
другого целого числа...

А Вам кто-то сказал, что $s$ - целое число, или Вы сами догадались?

Уважаемый Someone! Спасибо за вопрос. Вы почему то обошли стороной мою тему
« О способностях мышления». Надеюсь, что там просто нет сомнительных мест.
Хотя, с другой стороны, ясно, что в наше время рассчитывать на бесплатные положительные отзывы и рецензии наивно, а отрицательных и вовсе не бывает –
кто же станет за них платить! По данной теме позволю себе привести одно время имевшую широкое хождение среди советских изобретателей поговорку « в первый момент ВСЕГДА очевидна глупость автора и его предложения». По сути замечания ответ прост. Мы рассматриваем уравнение в целых числах
a^2 + (b - c)^2 = s^2 и очевидно, что при целых по предположению
a, b, c левая часть равенства - целое число и поэтому правая часть его s^2 будет всегда целым числом. Это известное уравнение Диофанта, от которого и отталкивался Ферма. Вы конечно знаете, что s может быть целым числом, так как все решения в целых числах приведенного уравнения находятся в соответствии с известной теоремой : «любая пара целых взаимно простых чисел даёт решение для целочисленного прямоугольного треугольника Пифагора. В нашем случае решения таковы:
a = 2uv, (c – b) = u^2 – v^2, s = u^2 + v^2 . Вообще говоря, приводимая в литературе формулировка теоремы не точна и она должна звучать так:
любая пара целых взаимно простых чисел даёт одновременно решения для двух целочисленных прямоугольных треугольников Пифагора. Это очевидно из нижеследующего тождества:
(u^2 + v^2)^2 – (u^2 - v^2)^2 = (2uv)^2 = (u^2v^2 +1)^2 – (u^2v^2 - 1)^2
В приведенном в теме доказательстве утверждается всего на всего, что в ЧАСТНОМ случае, когда a = x^k, b = y^k, c = z^k решений в целых числах нет и делается соответствующий вывод.
Формулы выглядят безобразно. У меня всё набрано в Word с помощью
Math2. После вставки из буфера всё искажается и приходится корректировать, используя ^. Как обойти или где прочитать?

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Вы почему то обошли стороной мою тему
« О способностях мышления».

Не нашёл там ничего интересного. А вникать в длиннющие и запутанные рассуждения без существенного стимула не хочу.

ljubarcev писал(а):

Мы рассматриваем уравнение в целых числах
a^2 + (b - c)^2 = s^2 и очевидно, что при целых по предположению a, b, c левая часть равенства - целое число и поэтому правая часть его s^2 будет всегда целым числом.

Число $s^2$ - действительно целое. А вот почему вдруг $s$ будет целым?

ljubarcev писал(а):

В нашем случае решения таковы:
a = 2uv, (c – b) = u^2 – v^2, s = u^2 + v^2 .

Эти формулы дают целочисленные решения. Ну и что?

ljubarcev писал(а):

В приведенном в теме доказательстве утверждается всего на всего, что в ЧАСТНОМ случае, когда a = x^k, b = y^k, c = z^k решений в целых числах нет

Нет - и не надо. Кому от этого плохо?

ljubarcev писал(а):

и делается соответствующий вывод.

Какой "соответствующий"? Что это доказывает теорему Ферма? Прежде, чем писать сюда в следующий раз, примените свои рассуждения к показателю $k=2$. И обязательно нам их здесь продемонстрируйте. Вместе с "соответствующим выводом".

ljubarcev писал(а):

Формулы выглядят безобразно. У меня всё набрано в Word с помощью
Math2. После вставки из буфера всё искажается и приходится корректировать, используя ^. Как обойти или где прочитать?

Здесь используется \TeX. Возьмём, например, Вашу формулу a^2 + (b - c)^2 = s^2. Окружим её знаками доллара: $a^2 + (b - c)^2 = s^2$. Таким образом (или двойными знаками доллара) нужно выделять формулы. Чтобы это всё превратилось в формулу здесь, на форуме, нужно окружить эту запись тегом Math: $a^2 + (b - c)^2 = s^2$. Красиво выглядит?
Обратите внимание на верхнюю часть страницы. Там есть надпись "Пишешь формулу? Используй тег [math]!". Щёлкните там по слову "math". Виктор Сорокин с этим в конце концов разобрался, разберётесь и Вы.

[ljubarcev]

Someone писал(а) Число S^2 целое, А вот s почему
вдруг будет целым?
Уважаемый Someone. Значит s^2 – целое, и вы спрашиваете почему вдруг s будет целым?». Так в том то и дело, что s может быть целым только в единственном случае, когда в уравнении Диофанта a^2 + d^2 = s^2 (1) числа
a и d не являются числами одинаковой степени, то есть когда в представлении числа z^k в виде
x^k + y^k число k = 1. При любом другом целом k s не целое. Это и доказано в начале темы путем подстановки
d = c – b и т.д.
Справедливость этого для случая к = 2 , когда уравнение (1) принимает вид
a^4 + d^4 = s^2 рассмотрен Г. Эдвардсом в [1] , где доказано, что сумма двух чисел, являющихся четвертыми степенями не может быть квадратом, а тем более четвертой степенью. Доказательство основано на единственном опубликованном доказательстве утверждения Ферма «площадь прямоугольного треугольника не может быть квадратом целого числа». Хочу обратить Ваше внимание на тот факт, что показатель степени 2 в уравнении (1) и k = 2 это совсем разные вещи - показатель 2 в уравнении имеет место всегда, а k является степенью самих чисел a и d и может быть любым целым числом.
Не трудно заметить, что утверждение Ферма о площади прямоугольного треугольника справедливо для любой целой степени k и может звучать так «площадь прямоугольного треугольника с целочисленными катетами x^k, y^k не может быть целым числом в степени k. Действительно. Площадь такого треугольника равна ( x^k y^k)/2 и если площадь была бы k степенью , то мы имели бы s = z^k = (x^k y^k)/2 и 2 = (x^k y^k)/z^k , а корень k степени из 2 был бы равен рациональному числу xy/z, что не возможно - вспомните доказательство Евклида иррациональности числа корень квадратный из 2.
Дед

[Сорокин Виктор]

ljubarcev писал(а):

О «последнем» утверждении П. Ферма...

Среди всех попыток элементарного доказательства ВТФ идея приспособить случай n = 2 для n > 2 самая распространенная. Этот коридор пройден самым тщательным образом, а потому бесперспективен.
В.С.

[ljubarcev]

Сорокин Виктор писал(а):

ljubarcev писал(а):

О «последнем» утверждении П. Ферма...

В. Сорокин писал(а)
Среди всех попыток элементарного доказательства ВТФ идея приспособить случай n = 2 для n > 2 самая распространенная. Этот коридор пройден самым тщательным образом, а потому бесперспективен.
В.С.

Коридор то пройден и затоптан до неприличия. А если истина
находится под его полом - у ИСТОКОВ ?
Ещё раз подчеркиваю; степень n = 2 ,Всегда имеющая место в уравнении Диофанта, которое Должно иметь решения в целых числах, и степень k , входящих в него чисел - разные вещи.
Дед.

[Cube]

ljubarcev писал(а):

...степень n = 2 ,Всегда имеющая место в уравнении Диофанта, которое Должно иметь решения в целых числах, и степень k , входящих в него чисел - разные вещи...

Тогда ведь и x^k+y^k=z^k и x^{2k}+y^{2k}=z^{2k} тоже вещи разные ?

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а) Число S^2 целое, А вот s почему
вдруг будет целым?
Уважаемый Someone. Значит s^2 – целое, и вы спрашиваете почему вдруг s будет целым?». Так в том то и дело, что s может быть целым только в единственном случае, когда в уравнении Диофанта a^2 + d^2 = s^2 (1) числа
a и d не являются числами одинаковой степени, то есть когда в представлении числа z^k в виде
x^k + y^k число k = 1. При любом другом целом k s не целое. Это и доказано в начале темы путем подстановки
d = c – b и т.д.

Ну, давайте возьмём уравнение $x^2+y^2=z^2$ и применим к нему Ваши рассуждения (это тот самый случай $k=2$, о котором я Вас спрашивал). Полагаем $a=x^2$, $d=z^2-y^2$ (в точности как у Вас в http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=8387#8387, только у Вас там вместо $k$ написано $n$, а в следующем сообщении уже $k$). Получаем равенство "$x^4+(z^2-y^2)^2=s^2$; так как по предположению $z^2-y^2=x^2$, то должно быть $x^4+x^4=s^2$ и $2(x^2)^2=s^2$. Но квадрат целого числа не может быть равен двум квадратам другого целого числа – вспомним доказательство Эвклида иррациональности числа, равного корню квадратному из двух. Таким образом, предположение существования равенства $x^2+y^2=z^2$ не верно, то есть число в 2-ой степени не может быть представлено в виде суммы двух чисел в той же степени", чего П.Ферма, однако, не утверждал.

Маленькая задачка персонально для Вас, господин ljubarcev: найти ошибку в этом рассуждении, которое дословно переписано из Вашего "доказательства".

[Zailgan]

ljubarcev писал(а):

Используя известное доказательство теоремы
Пифагора для любых двух произвольных отрезков
a и (b - c) получим уравнение
a^2 + (c – b)^2 = s^2 (1)
Рассмотрим это уравнение в целых числах.
Возьмём три целочисленных отрезка
a = x^n, b = y^n, c = z^n , тогда равенство (1) приобретает
вид: x^(2n) + (z^n – y^n)^2 = s^2 (2).
Предположим, что существует равенство
z^n = x^n + y^n.

А почему кстати a, с и b представляются в виде степеней n, то есть почему a = x^n, b = y^n, c = z^n или x, y, z не целые числа? То есть предполагается что если теорема Ферма не верна, то существует такая тройка чисел x, y, z для которой
x^n + y^n = z^n и одновременно x^2n + (z^n - y^n)^2=s^2 ну да таких наверное чисел нет, даже если n=2. Ну и что из этого, зачем нам второе равенство, теорема Ферма ничего не говорит про второе равенство?
Вообщем всем любопытным смотреть pdf http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf. Говорят что его могут понят полностью не более 50 человек на планете и если оказаться на необитаемом острове, то можно всю жизнь вникать в это док-во. Вообщем это пока единственное док-во в котором не нашли до сих пор изъянов.

[ljubarcev]

Someone писал(а)

Маленькая задачка персонально для Вас, господин ljubarcev: найти ошибку в этом рассуждении, которое дословно переписано из Вашего "доказательства".[/quote]
Уважаемый Someone! Вы предложили мне непосильную задачу. Вы ведь знаете, что человек «…не видит бревно в собственном глазу…». Конечно, я пытался и пытаюсь, и если бы я смог увидеть это самое «бревно», я бы и не стал вылезать с этим доказательством.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

Маленькая задачка персонально для Вас, господин ljubarcev: найти ошибку в этом рассуждении, которое дословно переписано из Вашего "доказательства".

Уважаемый Someone! Вы предложили мне непосильную задачу. Вы ведь знаете, что человек «…не видит бревно в собственном глазу…». Конечно, я пытался и пытаюсь, и если бы я смог увидеть это самое «бревно», я бы и не стал вылезать с этим доказательством.
Дед.

Я же Вам очень прозрачно намекал. Ну постарайтесь!

[ljubarcev]

Someone писал (а):
... чего Ферма не утверждал.
Я же вам прзрачно намекал.Ну постарайтесь!

Конечно, Ферма этого не утверждал. Он утверждал, по сути, что если
x^2 + y^2 = z^2, то сами числа х и у не могут быть числами одинаковой k степени, кроме k = 1. Ферма, конечно знал, как находятся все решения уравнения подобного типа, а что решения имеются знали ещё в древнем Вавилоне.
Для случая k = 2 и всех четных k имеются признанные доказательства . Например, это весьма просто доказать исходя из утверждения Ферма «площадь целочисленного прямоугольного треугольника не может быть квадратом». Так что для полного доказательства необходимо доказательство для всех k не четных простых.
Теорема Пифагора справедлива для любых отрезков a, d, s и a^2 + d^2 = s^2 (2) .
При решении уравнения (2) давно установлено, что Должно быть решение и при a и d разной четности и s не четном и числах a, d. s взаимно простых. В то же время так же, известно , что если z^k представимо в виде x^k + y^k , то решение должно бвть при z не четном а x и y различной четности, поэтому при любой подстановке, например,
a = z^K , d = x^k + y^k, слева всегда число четное, а справа - нечетное s. Равенство невозможно. Отсюда и «соответствующий вывод» - z^k не представимо в виде x^k + y^k, что и утверждал П. Ферма. Так что, если можно, укажите: где здесь не « железна» логика
или где желаемое - выдано за действительное.
Надеюсь, что и Cube и Zailgan, внимательно и не торопясь прочтя сказанное, поймут о чем всё таки идет речь.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Конечно, Ферма этого не утверждал. Он утверждал, по сути, что если
x^2 + y^2 = z^2, то сами числа х и у не могут быть числами одинаковой k степени, кроме k = 1...

Да я не об этом обо всём. Это всё общие разговоры.

Я ведь Вам говорю о том, что Ваше "доказательство" одинаково "доказывает" неразрешимость в натуральных числах уравнения $x^k+y^k=z^k$ при всех целых $k\geqslant 1$, включая $k=1$ и $k=2$. То есть, из Ваших рассуждений следует, что даже и уравнение $x+y=z$ не имеет решений в множестве натуральных чисел. Для $k=2$ я Вам это показал, для $k=1$ можете сделать сами.

А про ошибку я совершенно ясно говорил: с какой стати число $s=\sqrt{a^2+(c-b)^2}$ должно быть целым? Можно подобрать такие $a$, $b$, $c$, чтобы это число было целым, но если Вы берёте какие попало $a$, $b$, $c$, то число $s$ не обязано быть целым, и нет ничего удивительного, что оно не целое. И совершенно ничего интересного для доказательства теоремы Ферма из этого не следует.

[Cube]

Someone писал(а):

...но если Вы берёте какие попало $a$, $b$, $c$, то число $s$ не обязано быть целым, и нет ничего удивительного, что оно не целое...

Если $a$, $b$, $c$ - целые и $a$ + $b$ = $c$, то в равенстве
$a$^2 + ($c$ - $b$)^2 = $s$^2
$s$ не может быть целым.

Так что попытка свести рассуждение к утверждению

Цитата:

Но квадрат целого числа не может быть равен двум квадратам
другого целого числа

теряет смысл с самого начала.