Три измерения или четыре?

[unistudent]

Не знаю еще как вставлять формулы . Пожалуйста, напишите какую-нибудь закомментированную греческую букву, так чтобы я увидел. Где можно почитать? В FAQ и в правилах не нашел.

[Aritaborian]

«Как набирать формулы?»

[unistudent]

Понял. Спасибо.
Частица движется со скоростью света, интервал между двумя точками $ \delta S = \sqrt{ c^2\delta t^2 - \delta r^2 $, где $\delta r = c\delta t$. То есть, $\delta S = 0$. Это то, что я имел в виду. Интервал равен нулю. Какой в этом физический смысл?

[Aritaborian]

Это значит, что для частицы, движущейся со скоростью $c$, времени в некотором смысле не существует. Понимаю, что ничего особо внятного вам сейчас не сообщил ;-( Надеюсь, кто-нибудь ответит более развёрнуто.

[unistudent]

Aritaborian в сообщении #947424 писал(а):

Это значит, что для частицы, движущейся со скоростью $c$, времени в некотором смысле не существует. Понимаю, что ничего особо внятного вам сейчас не сообщил ;-( Надеюсь, кто-нибудь ответит более развёрнуто.

Внятно в моем понимании: в связанной с частицей системе она не "перемещается". Раз это реальность, значит временная компонента - это не нечто абстрактное, выдуманное для удобства?

[Aritaborian]

unistudent в сообщении #947426 писал(а):

в связанной с частицей системе она не "перемещается"

Наоборот: нет такой системы отсчёта, где фотон покоится.

[warlock66613]

unistudent в сообщении #947422 писал(а):

Интервал равен нулю. Какой в этом физический смысл?

Да вроде никакого особого смысла нет.
Значит, что два события, произошедшие с частицей (например, её возникновение в ходе реакции и исчезновение в ходе другой реакции), ни в какой системе отсчёта не будут ни одновременными ни одноместными.
Значит, что у частицы нет собственного времени, что, скажем, для фотона означает, что не может быть и какой-то однозначной собственной частоты - и действительно в разных системах отсчёта частота фотона разная, и никакую инвариантную частоту ему приписать нельзя, а можно приписать только волновой $4$-вектор.

[unistudent]

Aritaborian в сообщении #947427 писал(а):

unistudent в сообщении #947426 писал(а):

в связанной с частицей системе она не "перемещается"

Наоборот: нет такой системы отсчёта, где фотон покоится.

В эвклидовой нет, но в псевдоэвклидовой же есть? Нулевой интервал и означает это. А как еще?

-- 16.12.2014, 13:45 --

warlock66613 в сообщении #947470 писал(а):

Да вроде никакого особого смысла нет.
Значит, что два события, произошедшие с частицей (например, её возникновение в ходе реакции и исчезновение в ходе другой реакции), ни в какой системе отсчёта не будут ни одновременными ни одноместными.

Это заставляет задуматься. Может, конечно, здесь и нет особого смысла, но поводов для фантастических историй тьма

[arseniiv]

unistudent в сообщении #947594 писал(а):

В эвклидовой нет, но в псевдоэвклидовой же есть? Нулевой интервал и означает это. А как еще?

Однако же не означает. Времениподобный интервал означает, что из одного события можно попасть в другое по времениподобной кривой, в том числе траекторией частицы, движущейся со скоростью меньше $c$ (этот факт сохраняется во всех ИСО). Светоподобный (нулевой) интервал означает, что траекторией никакой такой частицы соединить события нельзя, а траекторией движущейся со скоростью $c$ можно. Пространственноподобный интервал означает, что даже траекторией последней соединить события нельзя.

К тому же, не путайте евклидовость/псевдоевклидовость пространства — в общем случае и тех, и этих пространств куча — с конкретными относящимися к физике объектами — пространством Минковского сигнатуры $({+},{-},{-},{-})$, которое, конечно, псевдоевклидово, и пространством-временем Галилея сигнатуры $({+},0,0,0)$, которое ни евклидово, ни псевдоевклидово. В последнем частица с любой конечной скоростью в одной ИСО, включая $c$, в какой-нибудь другой ИСО покоится. В п.-в. Минковского как раз частица, имеющая скорость $c$ в одной ИСО, имеет такую же величину скорости в любой ИСО.

-- Вт дек 16, 2014 20:00:31 --

Только вот

unistudent в сообщении #947422 писал(а):

$ \delta S = \sqrt{ c^2\delta t^2 - \delta r^2 $, где $\delta r = c\delta t$. То есть, $\delta S = 0$

почему дельты, и зачем $s$ большая?

[unistudent]

arseniiv в сообщении #947715 писал(а):

Времениподобный интервал означает, что из одного события можно попасть в другое по времениподобной кривой, в том числе траекторией частицы, движущейся со скоростью меньше $c$ (этот факт сохраняется во всех ИСО). Светоподобный (нулевой) интервал означает, что траекторией никакой такой частицы соединить события нельзя, а траекторией движущейся со скоростью $c$ можно. Пространственноподобный интервал означает, что даже траекторией последней соединить события нельзя.

Да, ошибку понял, термин "пермещение" не годится. Траектория частицы тоже должна пониматься в событийном смысле.

arseniiv в сообщении #947715 писал(а):

К тому же, не путайте евклидовость/псевдоевклидовость пространства — в общем случае и тех, и этих пространств куча — с конкретными относящимися к физике объектами — пространством Минковского сигнатуры $({+},{-},{-},{-})$, которое, конечно, псевдоевклидово, и пространством-временем Галилея сигнатуры $({+},0,0,0)$, которое ни евклидово, ни псевдоевклидово. В последнем частица с любой конечной скоростью в одной ИСО, включая $c$, в какой-нибудь другой ИСО покоится. В п.-в. Минковского как раз частица, имеющая скорость $c$ в одной ИСО, имеет такую же величину скорости в любой ИСО.

Легко сказать, не путайте. Я понимаю, что это разные вещи, но явно не до конца. Именно сущностную разницу пока не улавливаю.

arseniiv в сообщении #947715 писал(а):

Только вот

unistudent в сообщении #947422 писал(а):

$ \delta S = \sqrt{ c^2\delta t^2 - \delta r^2 $, где $\delta r = c\delta t$. То есть, $\delta S = 0$

почему дельты, и зачем $s$ большая?

Я особенно не придавал значения символам. Малую дельту можно заменить на знак дифференциала или на большую дельту, большое S поменять на малое. Я лишь хотел подчеркнуть локальность соотношения. А вообще, меня в данном случае нисколько не интересует кривизна пространства, так что, всё пространство можно считать псевдоэвклидовым и написать $(s_2-s_1)^2 = c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2$ где 1 и 2 любые два события. Тема то называется 3 измерения или 4. Преобразования Лоренца наводят на мысль о том, что как-то всё сильно зависит от позиции, которую занимает наблюдатель по отношению к системе отсчета. Это, если можно так выразиться, объективно, и размерность пространства может играть здесь не последнюю роль. Или опять глупость сказал?

[arseniiv]

Кстати, прошу меня простить, я тут везде писал «траектория», когда должно было быть «мировая линия». Траектория — это множество пространственных точек, в которых частица побывала при движении (в конкретной ИСО), а мировая линия — это множество точек пространства-времени, и это уже инвариантная вещь.

unistudent в сообщении #947807 писал(а):

Легко сказать, не путайте. Я понимаю, что это разные вещи, но явно не до конца.

Почитайте учебник — угадать, что именно вам не понятно, вряд ли кто-то сможет. К тому же, я ведь в цитируемом вами куске и написал, в чём разница.

unistudent в сообщении #947807 писал(а):

Малую дельту можно заменить на знак дифференциала или на большую дельту

Обычно им всем придан разный смысл, ничего? $\Delta$ — это разность, $d$ — это дифференциал, $\delta$ — по-всякому бывает; например, вариация.

unistudent в сообщении #947807 писал(а):

Преобразования Лоренца наводят на мысль о том, что как-то всё сильно зависит от позиции, которую занимает наблюдатель по отношению к системе отсчета. Это, если можно так выразиться, объективно, и размерность пространства может играть здесь не последнюю роль. Или опять глупость сказал?

Как раз от позиции наблюдателя интервал не зависит. Преобразования Лоренца оставляют его тем же, что был. Так что пространственноподобность, светоподобность и времениподобность тоже инвариантны. Размерность пространства никак на это не влияет — разве что псевдоевклидовое пространство размерности 1 невозможно, но это тут ни при чём.

[unistudent]

arseniiv в сообщении #947844 писал(а):

от позиции наблюдателя интервал не зависит. Преобразования Лоренца оставляют его тем же, что был. Так что пространственноподобность, светоподобность и времениподобность тоже инвариантны. Размерность пространства никак на это не влияет — разве что псевдоевклидовое пространство размерности 1 невозможно, но это тут ни при чём.

Интервал не зависит, а длина и время зависят. И дело конечно же не в количестве измерений а в метрике. Думаю, что тема себя исчерпала.

[arseniiv]

unistudent в сообщении #947880 писал(а):

а длина и время зависят

Если время — это временная координата какой-то СО, или разность координат. А собственное время на отрезке мировой линии — не зависит. Надеюсь, вы их не путаете.

[unistudent]

arseniiv в сообщении #947889 писал(а):

unistudent в сообщении #947880 писал(а):

а длина и время зависят

Если время — это временная координата какой-то СО, или разность координат. А собственное время на отрезке мировой линии — не зависит. Надеюсь, вы их не путаете.

мм.. может и путаю. Временная координата и разности координат какой-то СО - это вроде понятно, и то уже сомневаюсь. А вот собственное время на отрезке мировой линии уже не совсем. Наверно здесь как раз и проблема у меня.

[Негамильтон]

Munin в сообщении #943286 писал(а):

Приведу для краткости цитату из самого себя:
Munin
писал(а):
Насчёт дифференциальной геометрии - это, конечно же, штука сложная и интересная. Занимается она не только кривыми линиями, но и кривыми поверхностями, и их $n$-мерными аналогами. Самое интересное, что изучает дифференциальная геометрия - это такую штуку, как внутренняя геометрия этих поверхностей и их аналогов. Видите ли, можно смотреть на кривую поверхность как на какое-то подмножество нашего пространства. Чтобы изучать её геометрию, можно проводить к ней перпендикуляры, касательные плоскости, строить над ней многогранники и т. п. А можно поступить иначе - ограничиться теми объектами, которые целиком и полностью лежат в этой поверхности, как бы "внутри" неё. Оказывается, что есть такая часть геометрии этой поверхности, которая даже не меняется от того, что мы эту поверхность как-то деформируем - ну представьте, например, листок бумаги, свёрнутый в трубочку, или кусок ткани, который можно мять, или мячик, который сжимают и растягивают, а рисунки, которые на них нанесены, - остаются при этом такими же, и "знать не знают" про все эти сворачивания и растяжения. Эта геометрия называется "внутренней геометрией". И вот дальше оказывается, тут сложный очень абстрактный математический шаг, оказывается, что можно построить такую поверхность - мысленно, как множество с какими-то законами и аксиомами - можно построить такую поверхность вообще безо всякого пространства вокруг неё, и без конкретной формы, которую она принимает в этом пространстве. То есть, рассмотреть эту "внутреннюю геометрию" в чистом виде.

Munin великолепен. Если б мне попалась "Дифференциальная геометрия для чайников" Munin'а - прочитал бы точно