Вероятности бесконечного числа событий

[semigradsky]

Допусти происходит эксперимент с бесконечным числом шагов. На каждом n-м шаге запускается генератор случайных чисел, который может выдать целое число из промежутка $[1, n]$.

Верно ли, что:
1. вероятность того, что какое-либо число n выпадет бесконечное число раз равна единице?
2. невозможно вычислить вероятность того, что некое число a выпадет больше раз, чем некоторое число b?

Мои ответы на каждый из вопросов - да.

В первом:
вероятность того, что n выпадет на n-м шаге равна $1/n$, на $n+1$ -- $1/(n+1)$, на $n+2$ -- $1/(n+2)$ и т.д.
Получаем $1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... = \infty $

Во втором:
т.к. a и b выпадают бесконечное число раз (судя по предыдущим рассуждениям), то мы не можем сравнить какое из них больше и не можем посчитать вероятность.

[Nemiroff]

semigradsky в сообщении #945800 писал(а):

вероятность того, что n выпадет на n-м шаге равна $1/n$, на $n+1$ -- $1/(n+1)$, на $n+2$ -- $1/(n+2)$ и т.д.
Получаем $1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... = \infty $

У вас есть какие-то числа. Вы их зачем-то сложили. Зачем? У вас получилась бесконечность. И что? Вероятность равна бесконечности?

[semigradsky]

Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):

есть какие-то числа

Это вероятности выпадения числа n на шагах n, n+1, n+2 и т.д.

Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):

зачем-то сложили. Зачем?

Чтобы применить лемму Бореля-Кантелли.

Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):

И что? Вероятность равна бесконечности?

Бесконечности равна сумма вероятностей, т.е. ряд расходится и искомая вероятность равна единице.

[Nemiroff]

semigradsky в сообщении #945823 писал(а):

Чтобы применить лемму Бореля-Кантелли.

Так гораздо лучше.

[Aritaborian]

1) да;
2) да.

[grizzly]

Aritaborian в сообщении #945840 писал(а):

2) да.

Почему это? В ответе я бы предпочёл увидеть либо "Постановка вопроса некорректна" либо "Вероятность равна 0".
Будем считать, что для обеих бесконечных серий имеем "равно" (ведь и там, и там счётная бесконечность), а конечные с конечными и бесконечными сравниваются естественным образом. А поскольку вероятность того, что какая-то из серий (для $a$ или $b$) даст конечное число выпадений, равна 0, то все "больше" и "меньше" в сумме будут иметь вероятность 0. При таких рассуждениях вероятность 0.

[Aritaborian]

Какие-то кривые рассуждения.

-- 13.12.2014, 23:15 --

grizzly в сообщении #945849 писал(а):

"Постановка вопроса некорректна"

А я о чём сказал?

[grizzly]

Aritaborian в сообщении #945855 писал(а):

grizzly в сообщении #945849 писал(а):

"Постановка вопроса некорректна"

А я о чём сказал?

Что невозможно вычислить. А! в смысле, что невозможно определить понятия в вопросе? Я понял, оставим это :)

[Deggial]

semigradsky в сообщении #945823 писал(а):

n на шагах n, n+1, n+2

semigradsky, замечание за неоформление формул.