2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 22:36 
Допусти происходит эксперимент с бесконечным числом шагов. На каждом n-м шаге запускается генератор случайных чисел, который может выдать целое число из промежутка $[1, n]$.

Верно ли, что:
1. вероятность того, что какое-либо число n выпадет бесконечное число раз равна единице?
2. невозможно вычислить вероятность того, что некое число a выпадет больше раз, чем некоторое число b?

Мои ответы на каждый из вопросов - да.

В первом:
вероятность того, что n выпадет на n-м шаге равна $1/n$, на $n+1$ -- $1/(n+1)$, на $n+2$ -- $1/(n+2)$ и т.д.
Получаем $1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... = \infty $

Во втором:
т.к. a и b выпадают бесконечное число раз (судя по предыдущим рассуждениям), то мы не можем сравнить какое из них больше и не можем посчитать вероятность.

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 22:53 
semigradsky в сообщении #945800 писал(а):
вероятность того, что n выпадет на n-м шаге равна $1/n$, на $n+1$ -- $1/(n+1)$, на $n+2$ -- $1/(n+2)$ и т.д.
Получаем $1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... = \infty $
У вас есть какие-то числа. Вы их зачем-то сложили. Зачем? У вас получилась бесконечность. И что? Вероятность равна бесконечности?

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 23:14 
Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):
есть какие-то числа

Это вероятности выпадения числа n на шагах n, n+1, n+2 и т.д.

Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):
зачем-то сложили. Зачем?

Чтобы применить лемму Бореля-Кантелли.

Nemiroff в сообщении #945809 писал(а):
И что? Вероятность равна бесконечности?

Бесконечности равна сумма вероятностей, т.е. ряд расходится и искомая вероятность равна единице.

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 23:16 
semigradsky в сообщении #945823 писал(а):
Чтобы применить лемму Бореля-Кантелли.
Так гораздо лучше.

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 23:36 
Аватара пользователя
1) да;
2) да.

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение13.12.2014, 23:59 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #945840 писал(а):
2) да.

Почему это? В ответе я бы предпочёл увидеть либо "Постановка вопроса некорректна" либо "Вероятность равна 0".
Будем считать, что для обеих бесконечных серий имеем "равно" (ведь и там, и там счётная бесконечность), а конечные с конечными и бесконечными сравниваются естественным образом. А поскольку вероятность того, что какая-то из серий (для $a$ или $b$) даст конечное число выпадений, равна 0, то все "больше" и "меньше" в сумме будут иметь вероятность 0. При таких рассуждениях вероятность 0.

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение14.12.2014, 00:12 
Аватара пользователя
Какие-то кривые рассуждения.

-- 13.12.2014, 23:15 --

grizzly в сообщении #945849 писал(а):
"Постановка вопроса некорректна"
А я о чём сказал?

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение14.12.2014, 00:34 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #945855 писал(а):
grizzly в сообщении #945849 писал(а):
"Постановка вопроса некорректна"
А я о чём сказал?

Что невозможно вычислить. А! в смысле, что невозможно определить понятия в вопросе? Я понял, оставим это :)

 
 
 
 Re: Вероятности бесконечного числа событий
Сообщение14.12.2014, 11:33 
Аватара пользователя
 ! 
semigradsky в сообщении #945823 писал(а):
n на шагах n, n+1, n+2
semigradsky, замечание за неоформление формул.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group