Решить систему уравнений в Z/nZ

[ZumbiAzul]

Null в сообщении #945599 писал(а):

Не только.

$2+56k$, где k - целое?

[Null]

Проверьте 16?

[provincialka]

Sonic86 в сообщении #945492 писал(а):

Деление класса вычетов на натуральное число не определено.

Это, конечно, так. Но разве нельзя первое равенство переписать в виде $\overline5 x+\overline7 y = \overline {19}$? Все же коэффициенты поменьше.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #945625 писал(а):

Это, конечно, так. Но разве нельзя первое равенство переписать в виде $\overline5 x+\overline7 y = \overline {19}$? Все же коэффициенты поменьше.

Теперь я понял, чему равно $\overline{1}$ поделить на $\overline{3}$

Тогда вот решение, правильно ли оно?

$$\begin{cases} \overline{3}x+\overline{7}y=\overline{19},\\ \overline{3}x+\overline{5}y=\overline{13} \end{cases}.$$

Вычитая уравнения, получаем, что

$$\overline{2}y=\overline{6}$$

$$y=\overline{3}$$

Подставляя его в первое уравнение, получаем:

$$\overline{3}x+\overline{7}\cdot\overline{3}=\overline{19}$$

$$\overline{3}x+\overline{21}=\overline{19}$$

$$\overline{3}x=\overline{19-21+56}=\overline{54}$$

$$x=\overline{18}$$

[Null]

ZumbiAzul в сообщении #945647 писал(а):

$$\overline{2}y=\overline{6}$$

$$y=\overline{3}$$

Не верный вывод. Делить на $\overline{2}$ нельзя.

[ZumbiAzul]

Null в сообщении #945656 писал(а):

Не верный вывод. Делить на $\overline{2}$ нельзя.

почему, если ведь подставить для проверки, то плучим исходное выражение

-- Сб дек 13, 2014 19:46:27 --

ZumbiAzul в сообщении #945664 писал(а):

Не верный вывод. Делить на $\overline{2}$ нельзя.

как тогда решать?

[provincialka]

ZumbiAzul, у меня первый коэффициент при $\overline x$ был $\overline 5$, а у вас почему-то $\overline 3$. С чего бы это?

-- 13.12.2014, 20:45 --

Вы ведь методом Гаусса почти дорешали. Зачем по новой начинаете? Я не вам отвечала.

-- 13.12.2014, 20:48 --

Вот до этого:

ZumbiAzul в сообщении #945555 писал(а):

$y\equiv 2\pmod{14}$

было правильно. Отсюда и продолжайте. Если трудно со сравнениями, попробуйте выписать числа, которые входят в этот класс

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945516 писал(а):

$$\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{8} \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} \end{pmatrix}$$

Этот переход неверен. Но я никак не могу понять, что тут делать?
Так как здесь стоит поступить?

[Sonic86]

provincialka в сообщении #945625 писал(а):

Но разве нельзя первое равенство переписать в виде $\overline5 x+\overline7 y = \overline {19}$? Все же коэффициенты поменьше.

Можно.

ZumbiAzul в сообщении #945578 писал(а):

Sonic86 в сообщении #945557 писал(а):

$y\equiv 2\pmod{14}$ через сравнения по модулю $56$?

Хочется сказать "да", но у меня пока нет никаких идей, кроме как обратно умножить все на 4 (но при $y$ опять появляется нежелательная четверка)

Подумайте немного, ответ прост.

(Оффтоп)

Null в сообщении #945586 писал(а):

Ну какие остатки оно может давать по модулю 56? Только я не понимаю зачем это нужно.

Вы считаете, что можно иначе? Вроде как нет других вариантов

Хотя я системы сравнений в 1-й раз решаю. М.б. и чего-то не вижу.

Можно было вообще с самого начала преобразовать систему сравнений в систему уравнений и решать как обычно.

ZumbiAzul в сообщении #945715 писал(а):

Но я никак не могу понять, что тут делать?

Вы же уже поняли:

ZumbiAzul в сообщении #945555 писал(а):

Ой, ошибся, будет так:

$4y\equiv 8\pmod{56}$

$y\equiv 2\pmod{14}$

Дальше достаточно 2-е сравнение записать эквивалентными образом по модулю $56$.
Если этот вопрос кажется Вам сложным, упростите его и попробуйте ответить сначала на простой вопрос. Потом на исходный.

[provincialka]

ZumbiAzul,

provincialka в сообщении #945701 писал(а):

попробуйте выписать числа, которые входят в этот класс

Вот, число 2 явно входит. Следующее какое?

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945716 писал(а):

Подумайте немного, ответ прост.

provincialka в сообщении #945724 писал(а):

Вот, число 2 явно входит. Следующее какое?

16, 30, 44?

[provincialka]

Ну да. А дальше не надо, дальше снова 2 (по модулю 56). Можно написать так: $y = \overline{2+14k}$, где $k$ принимает значения $0,1,2,3$. Ну, а теперь подставляйте этот $y$ в первое уравнение.

-- 13.12.2014, 22:18 --

Пожалуй, проще подставлять в "мое" уравнение, а не в первоначальное.

[Sonic86]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #945791 писал(а):

Можно написать так: $y = \overline{2+14k}$, где $k$ принимает значения $0,1,2,3$.

вот зачем так сильно подсказывать он вполне мог сам додуматься.
Я тогда помолчу пока

[provincialka]

(Оффтоп)

Sonic86, думаете, тороплюсь? Ну, он же вроде выписал числа. Запись через $k$ - только для удобства, чтобы 4 случая не рассматривать. Тоже замолкаю.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #945791 писал(а):

Ну да. А дальше не надо, дальше снова 2 (по модулю 56). Можно написать так: $y = \overline{2+14k}$, где $k$ принимает значения $0,1,2,3$. Ну, а теперь подставляйте этот $y$ в первое уравнение.

Да, можно так записать.


Тогда подставляя в первое уравнение, получаем:

$$\overline{5}x+\overline{7}(\overline{2+14k})=\overline{19}$$

$$\overline{5}x+\overline{14}+\overline{42}k=\overline{19}$$

$$\overline{5}x=\overline{5}-\overline{42}k$$

$$\overline{5}x=\overline{5}+\overline{4}k$$

Верно?

Sonic86 в сообщении #945794 писал(а):

Я тогда помолчу пока

provincialka в сообщении #945796 писал(а):

Тоже замолкаю.

(Оффтоп)

Пожалуйста, не надо) Вы моя последняя надежда на написание контрольных..