Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ

[DLL]

Цитата:

Хотя, если уравнение линеаризуется в неоднородное, то и растяжения по зависимой оси не будет. Так что за бонусная симметрия тогда у линейных уравнений?)

$Y = y_0(x) + e^{\alpha}(y-y_0(x)), X = x, $ где $y_0(x)$ - частное решение неоднородного уравнения.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #944892 писал(а):

Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений http://www.ega-math.narod.ru/Books/Groups.htm

В главе 2 на примере уравнения второго порядка $y''=\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{xy}$ продемонстри

по-прежнему непонятно, что принципиально нового несет здесь наука о продолжениях преобразований.
В Ибрагимова я не заглядывал, давайте произведем групповой анализ этого уравнения средствами стандартной дифференциальной геометрии.
Перейдем к системе

$$\dot y=p,\quad \dot p=p/y^2-1/(xy),\quad\dot x=1\qquad (*)$$

в трехмерном фазовом пространстве $(y,p,x).$
Будем подбирать преобразования вида

$$p\mapsto \lambda^ap,\quad y\mapsto\lambda^b y,\quad x\mapsto \lambda^c x$$

так что бы векторное поле $ v=(p,p/y^2-1/(xy),1)^T$ системы (*) лишь растягивалось, тогда эти преобразования будут переводить траектории системы в траектории. Откуда
$c=2b,\quad a=-b$ -- при любом $\lambda$ из окрестности 1.
Таким образом у нас возникает группа Ли преобразований

$$p\mapsto e^ap,\quad y\mapsto e^{-a} y,\quad x\mapsto e^{-2a} x.$$

параметр $a$ берем из окрестности $0$. Обозначим эту группу $g^a$. Соответствующее ей векторное поле $u=(-y,p,-2x)^T$

Имеем

$$g^a_*v=e^{2a}v$$

следовательно, $[u,v]=2v$.

Пусть теперь $(x^1,x^2,x^3)$ -- координаты в котороых $u=(1,0,0)$ (такие координаты можно ввести в окрестности любой точки кроме нуля в исходных координатах). В этих координатах векторное поле $v$ имеет вид

$$v^i=e^{2x^1}w^i(x^2,x^3),\quad i=1,2,3.$$

Таким образом, порядок системы понижен на 1.

Теперь надо продолжать угадывать дальше либо еще одну однопараметрическую группу, либо первый интеграл, либо иинтегральный инвариант.

[VanD]

Padawan в сообщении #944748 писал(а):

VanD в сообщении #942994 писал(а):

Любые два невырожденных в точке векторных поля эквивалентны в окрестности этой точки. А здесь речь идет о глобально заданных векторных полях. Глобальной эквивалентности теорема о выпрямлении не даёт, так что не отвечает и на вопрос о том, что называют симметриями дифференциального уравнения.

Это не в ту степь. Речь идет именно о локальных симметриях.

Не соглашусь с Вами. Симметрии есть экспоненты касательных векторных полей к подмногообразию соответствующего многообразия джетов, такие, что они сохраняют ограничение распределения Картана. Но касательные векторные поля к подмногообразию, которое задает уравнение, должны быть заданы глобально, на всем подмногообразии. Это та причина, по которой теорема о выпрямлении не есть спасательный круг.

Upd
Да, я действительно не о том)

[Oleg Zubelevich]

VanD в сообщении #945035 писал(а):

Не соглашусь с Вами.

ну так откройте учебник того же Олвера

VanD в сообщении #945035 писал(а):

Это та причина, по которой теорема о выпрямлении не есть спасательный круг.

это ,видимо, относится к моим замечаниям, но Вы их увы так и не поняли.

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #945038 писал(а):

это ,видимо, относится к моим замечаниям, но Вы их увы так и не поняли.

Давайте разберемся, чтобы не гадать. Что конкретно Вы утверждаете?

[VanD]

Хотя наверно я понял о чём Вы. Но в силу теоремы о выпрямлении будет тривиально решаться вопрос о количестве так называемых внутренних симметрий, сохраняющих касание порядка $n-1$ (для исходного уравнения) $n$ - порядок уравнения, а ТС спрашивал о точечных симметриях. Для их поиска вам придется искать группы преобразований особого вида. Точнее, Вам придется искать локальные группы, которые преобразуют зависимую и независимую переменные уравнения (которые были такими еще до перехода к системе) не зависимо от остальных переменных (которые появились после перехода к системе). И возникает вопрос: для точечных-то симметрий это рассуждение позволяет ли говорить об их количестве? На него уже ответ "нет".

Иными словами, в Вашем примере точечные группы преобразований исходного уравнения 2 порядка будут получаться из симметрий системы, таких что $x'=f(x, y, a) \ y' = g(x, y, a) \ p' = h(x, y, p, a)$

И ещё, как быть, если поле не выпрямляемо в целом?

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #945016 писал(а):

Теперь надо продолжать угадывать дальше либо еще одну однопараметрическую группу, либо первый интеграл, либо иинтегральный инвариант.

Вот именно, угадывать. А там угадывать не надо, есть алгоритм позволяющий найти все касательные поля группы симметрий. По нему у данного уравнения находится двумерная алгебра Ли касательных полей, что позволяет решить уравнение.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #946691 писал(а):

А там угадывать не надо, есть алгоритм позволяющий найти все касательные поля группы симметрий

Ну как мы уже знаем, всякое векторное поле $v(x)$ в окрестности любой своей неособой точки $x',\quad (v(x')\ne 0)$ имеет полный набор групп симметрий. Значит Вы можете все эти группы найти и проинтегрировать в квадратурах любое уравнение $\dot x=v(x)$, во всяком случае в окрестности неособой точки. Поздравляю.

UPD Под полным набором я подразумеваю следующее.

Теорема. Пусть $v(x')\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^m$. Тогда в (достаточно малой) окрестности $x'$ существуют векторные поля $u_1,\ldots, u_{m-1}$ которые линейно независимы в каждой точке окрестности и $[u_i,u_j]=[u_i,v]=0,\quad i,j=1,\ldots,m$.

[DLL]

Есть уравнения, у которых отсутствуют нетривиальные лиевские симметрии. Поэтому не любое уравнение

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Я уже говорил, что эта теория полезна только для уравнений выше первого порядка.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #946749 писал(а):

Oleg Zubelevich
Я уже говорил, что эта теория полезна только для уравнений выше первого порядка.

Во-первых, Вы не говорили "только", во-вторых, только, что Вы говорили , что умеете искать все симметрии в любом уравнении, теперь стали говорить осторожней, только про "пользу". В третьих, переход от уравнения высшего порядка к системе первого порядка и обратно совершенно тривиален, поэтому говорить "у меня есчсть метод, позволяющий интегрировать уравнения высокого порядка, но для уравнений первого порядка он бесполезен" это, простите, смешно немного

-- Пн дек 15, 2014 13:47:03 --

(Оффтоп)

Просто для информации. Пусть у нас имеется уравнение

$$\frac{d^n x}{dt^n}=f\Big(t,x,\dot x,\ddot x\ldots,\frac{ d^{n-1}x}{dt^{n-1}}\Big)\qquad (*)$$

ему соответствует система уравнений первого порядка

$$\dot x_1=x_2,\quad\dot x_2=x_3,\ldots, \dot x_n=f(t,x_1,\ldots,x_n)\qquad (**)$$

Так вот, группа симметрий уравнения (*), понимаемая в смысле теории продолжения (как у Овсянникова или Ибрагимова) это суть подгруппа в группе симметрий системы (**)

Теория продолжения групп преобразований встречается например в теореме Нетер в лагранжевой динамике. Там группа симметрий конфигурационного пространства системы продолжается (поднимается в касательное расслоение) до группы симметрий фазового пространства.

[VanD]

Oleg Zubelevich, Вы так и не поняли. Интереса ради, попробуйте прямо найти у выпрямленной системы симметрии. Та псевдогруппа, что у Вас получится, может быть найдена и методом теории продолжения, не переходя к системе, если искать внутренние касательные порядка $n-1$ симметрии исходного уравнения. Методы группового анализа позволяют искать все симметрии и системы и уравнения.
А про внутренние симметрии можно посмотреть, например, у Джета Неструева, если я не ошибаюсь.

[Oleg Zubelevich]

VanD в сообщении #946804 писал(а):

Интереса ради, попробуйте прямо найти у выпрямленной системы симметрии

спасибо, но Вам это упражнение будет полезней.

VanD в сообщении #946804 писал(а):

Методы группового анализа позволяют искать все симметрии и системы и уравнения.

Значит Вы еще один человек, который может проинтегрировать любое уравнение:)

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #946812 писал(а):

Значит Вы еще один человек, который умеет интегрировать все уравнения.:)

Знание всех симметрий не гарантирует того, что уравнение удастся проинтегрировать.
И еще раз акцентирую Ваше внимание на том, что у выпрямленной системы это будет псевдогруппа, которую, впрочем, можно было восстановить и по исходному уравнению, без перехода к системе.

Да и в принципе если уж наводить тут геометрию, то геометрия ограничения распределения Картана на подмногообразие-уравнение пространства струй подходит наилучшим образом, повидимому.

[Oleg Zubelevich]

VanD в сообщении #946822 писал(а):

И еще раз акцентирую Ваше внимание на том, что у выпрямленной системы это будет псевдогруппа

еще раз акцентирую Ваше внимание, на то что в этой науке по дефолту обсуждаются локальные объекты в том числе локальные группы см. учебники Овсянникова, Олвера, Ибрагимова. Поэтому нет смысла акцентировать внимание на том что и так всем ясно

VanD в сообщении #946822 писал(а):

Знание всех симметрий не гарантирует того, что уравнение удастся проинтегрировать.

в окрестности неособой точки гарантирует, и я это доказал выше. Padawan это понял, Вы- нет.