Несложный анализ вывода преобразований Лоренца

[rustot]

Поскольку вы обнаружили именно математическую ошибку при выводе преобразований Лоренца, то давайте рассмотрим именно абстрактную математическую задачу. Я постарался перевести ее решение на язык, в котором вообще ничего кроме математики начальных классов нет, никаких гиперболических синусов, просто сложения и умножения. На самом деле в учебниках гораздо короче и проще, но я постарался учесть вообще все что только может вызвать какие то вопросы.

Математическая задача - построить преобразование пары переменных $(a,b)$ в пару переменных $(c,d)$ с единственным параметром преобразования $e$. то есть найти две функции

$c = f(a,b,e)$
$d = g(a,b,e)$

естественно таких функций бесконечное множество, но у нас есть и некоторые дополнительные требования к ним

1. преобразования линейны. при фиксированном параметре $e$ линейные изменения $a$ и $b$ должны приводить к линейным же изменениям $c$ и $d$.

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b + k_5(e)$
$g(a,b,e)= k_3(e) a + k_4(e) b + k_6(e)$

2. пара нолей должна преобразовываться в пару нолей

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b$
$g(a,b,e)= k_3(e) a + k_4(e) b$

3. из пар связанных соотношениями $a = b$ и $a = -b$ должны обязательно получаться пары $c = d$ и $c = -d$ соответственно (вот собственно в этом пункте вы и нашли "ошибку")

$(c = k_1(e) a + k_2(e) a) = (d = k_3(e) a + k_4(e) a)$
$(c = k_1(e) a - k_2(e) a) = -(d = k_3(e) a - k_4(e) a)$

откуда $k_1(e) = k_4(e)$ и $k_2(e) = k_3(e)$

$f(a,b,e) = k_1(e) a + k_2(e) b$
$g(a,b,e)= k_2(e) a + k_1(e) b$

4. из пар связанных соотношением $a = e b$ должно обязательно получаться $c = 0$.

$c = 0 = f(e b, b, e) = k_1(e) e b + k_2(e) b \Rightarrow k_2(e) = - e k_1(e)$

$f(a,b,e) = k(e) (a - e b)$
$g(a,b,e) = k(e)(b - e a)$

5. преобразования должны быть обратимы при смене знака параметра $e$

$a = f(c,d,-e)$
$b = g(c,d,-e)$

преобразуем $a,b$ в $c,d$ и сразу же обратно в $a$

$a = f(c,d,-e) = f(f(a,b,e),g(a,b,e),-e) = k(-e)k(e)(a - e b + e(b - ea))$
$k(-e)k(e) = \frac{1}{1 - e^2}$

6. если для пары $(1,0)$ прямыми преобразованиями получается некоторое $c$, то для зеркальной пары $(-1,0)$ обратные преобразования должны давать зеркальное $a = -c$

$c = k(e)(1 - e\cdot 0) = k(e)$
$a = k(-e)(-1 + e\cdot 0) = -k(-e) = -c = -k(e)$
$k(e) = k(-e)$

итого

$k(e)k(-e) = k(e)^2 = \frac{1}{1 - e^2}$
$k(e) = \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}$

$c = f(a,b,e) = \frac{a - e b}{\sqrt{1-e^2}}$
$d = g(a,b,e) = \frac{b - e a}{\sqrt{1-e^2}}$

с учетом того какие именно физические параметры имелись в виду при формировании математических условий задачи $(a,b,c,d,e) = (x, c t, x', c t', v/c)$

$x' = \frac{x - \frac{v}{c} c t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
$c t' = \frac{c t - \frac{v}{c} x}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

[IGOR1]

rustot в сообщении #944523 писал(а):

4. из пар связанных соотношением $a = e b$ должно обязательно получаться $c = 0$.

Благодарю вас за прекрасное математическое изложение ваших преобразований. Но на мой взгляд в пункте 4 имеется нестыковка. Очевидно этот пункт следует читать"из пар связанных соотношением $x=vt$ должно обязательно получаться $x'=0$". То есть если $x=vt$ то $x'=0$. И ранее было введено условие если $x=ct$ то $x'=ct'$. Это означает: пока вторая система движется относительно первой со скоростью $v$ координата $x'$ во второй системе все время остается равной нулю. А когда скорость второй системы достигает значения $c$, то координата $x'$ мгновенно начинает изменяться с огромной скоростью по закону $x'=ct'$. Это трудно объяснить.

[12d3]

IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):

А когда скорость второй системы достигает значения $c$, то координата $x'$ мгновенно начинает изменяться с огромной скоростью по закону $x'=ct'$. Это трудно объяснить.

Сдается мне, вы запутались в скоростях. Скорость движения второй системы относительно первой фиксированна и не меняется. Тем более, она никак не может стать $c$. Меняется скорость движения некоего тела в каждой из систем отсчета. Использованы три варианта скорости: $-c,\,\,c,\,\,v$. Каждый из них дает некое ограничение на преобразования.

[IGOR1]

12d3 в сообщении #944900 писал(а):

Скорость движения второй системы относительно первой фиксированна и не меняется. Тем более, она никак не может стать $c$.

Но было же введено условие: если $x=ct$ то $x'=ct'$. Тогда очевидно надо отказаться от этого условия.

[rustot]

IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):

Благодарю вас за прекрасное математическое изложение ваших преобразований. Но на мой взгляд в пункте 4 имеется нестыковка. Очевидно этот пункт следует читать"из пар связанных соотношением $x=vt$ должно обязательно получаться $x'=0$". То есть если $x=vt$ то $x'=0$.

это не мои преобразования, это из учебника, но максимально разбавленные подробностями, чтобы уж совсем не было никаких недосказанностей, все "очевидно что" я для вас расписал в длинный текст, в предположении что вы соответствующих глав учебника не читали и для вас это не очевидно.

вы бы сначала сказали математика верна или нет, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ошибки есть или нет? а правильно или неправильно сформулировано "дано" к этой математической задаче, правильно ли физические параметры были переложены на математический язык - это вопрос отдельный и независимый к которому стоит переходить только после того как вы убедитесь что МАТЕМАТИЧЕСКИХ ошибок нет

да, пункт 4 это математическая формулировка физического условия "одна система отсчета относительно другой движется со скоростью $v$", точнее одного частного случая их этого условия, что начало координат одной системы отсчета в другой перемещается по закону $x = v t$, потому-что в нулевой момент времени начала координат совпадают (условие 2)

IGOR1 в сообщении #944896 писал(а):

А когда скорость второй системы достигает значения $c$, т

вот математика и показала что при таких "дано" в задаче, решений для $e^2 \ge 1$ она не имеет, то есть для заданных условий не может физически существовать исо, двигающихся друг относительно друга со скоростью $|v| \ge |c|$. в сто именно так и утверждается, любая исо относительно любой исо движется со скоростью меньшей по модулю чем $c$

[12d3]

IGOR1 в сообщении #944910 писал(а):

Но было же введено условие: если $x=ct$ то $x'=ct'$. Тогда очевидно надо отказаться от этого условия.

Скажите, как вы поняли, что такое в данном случае $c$? Скорость чего?

[IGOR1]

rustot в сообщении #944918 писал(а):

вот математика и показала что при таких "дано" в задаче, решений для $e^2 \ge 1$ она не имеет,

Но мы как раз в начале задачи исходили из условия что если $x=ct$ то $x'=ct'$, и на этом условии строили наши последующие рассуждения. А в конце задачи (когда задача уже решена) пришли к выводу, что это условие не может выполняться. Можно ли в этом случае считать задачу решенной?

[rustot]

IGOR1 в сообщении #944990 писал(а):

Но мы как раз в начале задачи исходили из условия что если $x=ct$ то $x'=ct'$, и на этом условии строили наши последующие рассуждения. А в конце задачи (когда задача уже решена) пришли к выводу, что это условие не может выполняться. Можно ли в этом случае считать задачу решенной?

мы может исходить и из $a = 100 b$ и из $a = b^2$ и это нормально преобразуется, это же просто соотношение между координатами точки на плоскости. только на параметр преобразования $e$ наложено в полученном решении ограничение $e^2<1$, а на пары $a,b$ или $c,d$ - никаких ограничений. когда мы ставили условия мы не знали что $e$ окажется ограниченным, а в результате решения узнали, это один из результатов полученных при решении задачи

[12d3]

IGOR1 в сообщении #944990 писал(а):

Можно ли в этом случае считать задачу решенной?

Естественно. Мы определили, при каких значениях входных параметров решение есть, при каких - нет. В тех случаях, когда есть, мы явно нашли решение. Задача решена.

[IGOR1]

12d3 в сообщении #944919 писал(а):

Скажите, как вы поняли, что такое в данном случае $c$? Скорость чего?

В данном случае (исходя из логики Лоренца) $c$ можно понимать как скорость второй системы относительно первой. Но в начале задачи это входило в условие: если наблюдатель в первой системе измерит скорость света $c$, то и наблюдатель во второй системе получит такое же значение скорости света. То есть довольно серьезная нестыковка.

[rustot]

где вы видите математическую нестыковку? математическая нестыковка если вы получили в процессе решения противоречащие сами себе выражения типа $a = a + 1$.

вы по прежнему не пытаетесь найти математическую ошибку а рассуждаете отвлеченно кто о чем думал когда о чем то говорил и какую логику применял. кто о чем думал не имеет никакого отношения к математике. где вы в сформулированных условиях видите что "$e$ можно понимать как $a/b$"? нет там ничего похожего, $e$ - совершенно самостоятельный параметр, пятый, а не какая то функция от первых четырех

[12d3]

IGOR1 в сообщении #944997 писал(а):

В данном случае (исходя из логики Лоренца) $c$ можно понимать как скорость второй системы относительно первой.

Неверно. Мы берем две системы отсчета, которые движутся заданным образом, а потом двигаем в них разные объекты и смотрим, как они себя ведут. Например, можно запустить свет в одной системе отсчета в положительном направлении, можно в отрицательном, можно придать некоему телу такую скорость, чтоб во второй СО он покоился. В данном случае скорость $c$ - это скорость именно такого пробного объекта, а не скорость движения одной СО относительно другой.

[IGOR1]

rustot в сообщении #944993 писал(а):

мы может исходить и из $a = 100 b$ и из $a = b^2$ и это нормально преобразуется,

Но в этом случае необходимо исходить из условия если $x=At$ то $x'=Bt'$ где $A$ и $B$ произвольные постоянные. Тогда получится совсем другое решение задачи

[rustot]

для всех пар $a,b$ одно и то же решение. где вы видите в полученном результате какие то особые связки $a,b$? для ЛЮБОЙ пары получено преобразование. хоть для $10,20$, хоть для $1000000000000000,0$. вы не можете $a=1000000000000000,b=0$ записать в виде $a = k b$ а решение все равно есть

были наложены какие то ограничения на то как должны преобразовываться отдельные пары значений. допустим (0,0) должно обязательно преобразоваться в (0,0). а (10,10) должно обязательно преобразоваться в (k,k) с неизвестным k, а в (k,k-1) не должно. вот после того как несколько таких ограничений было оговорено, были получены однозначные преобразования для ВСЕХ пар величин, для которых вообще никаких условий не ставилось

[IGOR1]

rustot в сообщении #944999 писал(а):

вы по прежнему не пытаетесь найти математическую ошибку а рассуждаете отвлеченно кто о чем думал

В приведенном вами выводе преобразований я не вижу математической ошибки. Но если попытаться применить полученную математическую модель для описания реального движения, то возникают некоторые трудности