Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ

[Oleg Zubelevich]

Ну пожалуйста, перешли в координаты , в которых векторное поле имеет вид $(1,0,\ldots,0)$. Тут все группы симметрий выписываются сразу и тривиально. Думаете этим Ли занимался?

[VanD]

Любые два невырожденных в точке векторных поля эквивалентны в окрестности этой точки. А здесь речь идет о глобально заданных векторных полях. Глобальной эквивалентности теорема о выпрямлении не даёт, так что не отвечает и на вопрос о том, что называют симметриями дифференциального уравнения.

[Oleg Zubelevich]

VanD в сообщении #942994 писал(а):

не отвечает и на вопрос о том, что называют симметриями.

На вопрос о том, что называют симметриями, отвечает определение.

VanD в сообщении #942994 писал(а):

Глобальной эквивалентности теорема о выпрямлении не даёт,

хорошо, что Вы поняли, что вопрос о том где рассматривается задача о существовании группы симметрий имеет значение, я об этом писал выше

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #942997 писал(а):

хорошо, что Вы поняли, что вопрос о том где рассматривается задача о существовании группы симметрий имеет значение, я об этом писал выше

Хорошо, что на этот вопрос отвечает определение точечной симметрии дифференциального уравнения.

[Oleg Zubelevich]

Вот кстати учебная задача для учебного раздела. Может ТС будет интересно. На торе $\mathbb{T}^m=\mathbb{R}^m/(2\pi\mathbb{Z})^m$ задана система ДУ $\dot x=\omega$, где $x=(x^1,\ldots,x^m)$ -- стандартные углы, определеные $\pmod{2\pi}$, вектор $\omega=(\omega^1,\ldots,\omega ^m)$ постоянный и такой, что
$\sum_{k=1}^m j_k\omega^k\ne 0$ для любого целочисленного вектора $(j_1,\ldots,j_m)\ne 0$. Доказать, что данная система ДУ не имеет нетривиальных гладких групп симметрий определеных на торе.

[DLL]

Цитата:

То есть по логике, должно быть не меньше симметрий, чем порядок уравнения (как минимум)?

А если быть точнее, то на 1 больше, чем порядок уравнения

[VanD]

DLL в сообщении #943900 писал(а):

А если быть точнее, то на 1 больше, чем порядок уравнения

Хм, может я не догоняю, но какая ещё одна? Переноса по независимой оси может и не быть ведь, если речь об этом.

Upd
Понял, речь о растяжении по зависимой оси)

[VanD]

Хотя, если уравнение линеаризуется в неоднородное, то и растяжения по зависимой оси не будет. Так что за бонусная симметрия тогда у линейных уравнений?)

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #942992 писал(а):

Ну пожалуйста, перешли в координаты , в которых векторное поле имеет вид $(1,0,\ldots,0)$. Тут все группы симметрий выписываются сразу и тривиально. Думаете этим Ли занимался?

Не надо путать группу симметрий системы ОДУ первого порядка, и группу симметрий одного ОДУ второго или более высокого порядка. Последним соответствуют не абы какие преобразования в продолженном пространстве $(x,y,y',y'',...)$, а только такие, которые получаются из симметрий пространства $(x,y)$ по формулам продолжения, требующим сохранения равенств $dy=y'dx$, $dy'=y''dx$ и т.д. Т.е. преобразования производных вытекают из преобразования переменных.

VanD в сообщении #942994 писал(а):

Любые два невырожденных в точке векторных поля эквивалентны в окрестности этой точки. А здесь речь идет о глобально заданных векторных полях. Глобальной эквивалентности теорема о выпрямлении не даёт, так что не отвечает и на вопрос о том, что называют симметриями дифференциального уравнения.

Это не в ту степь. Речь идет именно о локальных симметриях.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #944748 писал(а):

Не надо путать группу симметрий системы ОДУ первого порядка, и группу симметрий одного ОДУ второго или более высокого порядка. Последним соответствуют не абы какие преобразования в продолженном пространстве $(x,y,y',y'',...)$, а только такие, которые получаются из симметрий пространства $(x,y)$ по формулам продолжения, требующим сохранения равенств $dy=y'dx$, $dy'=y''dx$ и т.д. Т.е. преобразования производных вытекают из преобразования переменных.

Эта конструкция в ОДУ практически не используется в силу своей частности и неинвариантности в смысле геометрии фазового пространства. Для УРЧП она актуальна, для ОДУ -- нет (во всяком случае для ОДУ разрешенных относительно старшей производной). А Олвера и Овсянникова, конечно, читать полезно.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Это был ответ на вопрос, чем занимался Ли. А также о том, что не любое ОДУ имеет группу точечных симметрий.

Oleg Zubelevich в сообщении #944841 писал(а):

Для УРЧП она актуальна, для ОДУ -- нет (во всяком случае для ОДУ разрешенных относительно старшей производной)

Тем не менее, эта конструкция позволяет находить точные решения ОДУ. Уже этим она актуальна.

[Oleg Zubelevich]

эта конструкция -- просто частный случай, ни чего, что нельзя было бы получить из общего определения эта конструкция делать не умеет.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Понятие банахова пространства - частный случай понятия нормированного пространства. Тем не менее, именно банаховы пространства наиболее полезны. В общем, пошел разговор ни о чем.

Вы же сказали, что вопрос о том, имеет ОДУ группу симметрии или нет, тривиальный, т.к. имеет всегда. Для ОДУ первого порядка это так. Для второго и выше - нет. Вопрос только в том, что понимать под группой симметрий. Если понимать как группу симметрий соответствующей канонической системы ОДУ первого порядка, то да, имеет, но ничего полезного это не дает, о чем Вы, видимо, и говорите. Если же понимать в смысле продолжения, то нет, не обязательно имеет. А если имеет, и мы её найдем, то это позволит нам понизить порядок уравнения.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, а с примерами какими-нибудь содержательными для ОДУ данной конструкции ознакомьте пожалуйста.

[Padawan]

Посмотрите примеры в книге Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений http://www.ega-math.narod.ru/Books/Groups.htm
В главе 2 на примере уравнения второго порядка $y''=\frac{y'}{y^2}-\frac{1}{xy}$ продемонстрирован весь процесс решения - нахождение группы симметрии уравнения, замена переменных, после которой инфинитезимальные операторы группы приводятся к каноническому виду, решение уравнения в новых переменных, обратная замена.

А ТС будет полезно посмотреть главу 3 этой же книги. Там есть раздел "Признаки линеаризуемости".