квантовый осциллятор и оператор уничтожения.

[Red_Herring]

А все таки: куда делись $f(n)$ и $g(n)$ из исходной задачи:

dikiy в сообщении #942757 писал(а):

Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора, и его операторов уничтожения и рождения верно следующее:

$$a|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a^+|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

Если бы сразу было сказано, что они "стандартные", (ну, конечно $a$ и $a^+$ перепутаны), то ни у кого никаких вопросов бы и не было. А при

$$a^+|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

у нас будут другие значения и для произведений и коммутатора и область $n$ может быть отличной от "луча".


На самом деле сопряженность $a$ и $a^+$ и коммутационное соотношение $[a,a^+]=1$ даёт нам очень мало произвола. Но отказ от одного из них ...

[amon]

Не могу удержаться. В "авторской постановке" без конкретизации $f(n)$ и $g(n)$ задачка, как мне кажется, не решается. Пусть все размерные константы - единицы, и $n$ нумерует уровни энергии снизу вверх (в условии этого нет, но упростим себе задачу). Тогда должно выполняться функциональное уравнение

$$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n))$$

на функцию $\varphi(x)$ с условием $\frac{1}{2}=\varphi(f(0)g(1))$. Без конкретизации вида $f(n)$ и $g(n)$ непонятно, что с этим делать. (Для стандартного определения повышающего и понижающего операторов мгновенно имеем $\varphi(x)=x/2$).

[dikiy]

amon в сообщении #943463 писал(а):

Не могу удержаться. В "авторской постановке" без конкретизации $f(n)$ и $g(n)$ задачка, как мне кажется, не решается. Пусть все размерные константы - единицы, и $n$ нумерует уровни энергии снизу вверх (в условии этого нет, но упростим себе задачу). Тогда должно выполняться функциональное уравнение

$$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n))$$

на функцию $\varphi(x)$ с условием $\frac{1}{2}=\varphi(f(0)g(1))$. Без конкретизации вида $f(n)$ и $g(n)$ непонятно, что с этим делать. (Для стандартного определения повышающего и понижающего операторов мгновенно имеем $\varphi(x)=x/2$).

там в задаче другим пунктом шло: определите $f(n),g(n)$, при условии, что все собственные состояния $|n \rangle$ нормированы. Ну и до кучи там перед этим просили показать, что $[a^+,a]=1$ при условии, что $[p,x]=-i\hbar.$ А используя это можно найти $f(n)$ и $g(n)$.

[Red_Herring]

dikiy в сообщении #943465 писал(а):

там в задаче другим пунктом шло

Так почему Вы не привели этого пункта?

[dikiy]

Red_Herring в сообщении #943466 писал(а):

dikiy в сообщении #943465 писал(а):

там в задаче другим пунктом шло

Так почему Вы не привели этого пункта?

потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б. Затык был именно в самом начале задачи у меня.

[Red_Herring]

dikiy в сообщении #943467 писал(а):

потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б. Затык был именно в самом начале задачи у меня.

Так вот бы и решали сами. А если просите помощи, то приводите условие полностью.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #943426 писал(а):

у нас будут другие значения и для произведений и коммутатора и область $n$ может быть отличной от "луча".

Я так понял (исходную постановку задачи, "рассыпавшуюся", что тот факт, что область $n$ есть "луч", следует из слова "осциллятор". И оттуда же - что $n$ нумерует уровни снизу вверх. В общем, что $n$ имеет стандартный смысл квантового числа $n.$

Есть же стандартные смыслы у букв $n,l,m,s$; $s,p,d,f$; $S,T$; $S,V,T,A,P$...

dikiy в сообщении #943467 писал(а):

потому что если бы я решил первый пункт, то и со вторым бы автоматом разобрался б.

Задачу всё-таки надо приводить целиком в том виде, в котором она вам дана. А если вы приводите какие-то обрывки, или ещё хуже, собственные интерпретации, то задача чёткая и ясная часто становится нерешаемой или бессмысленной.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #943528 писал(а):

В общем, что $n$ имеет стандартный смысл квантового числа $n.$
Есть же стандартные смыслы у букв

Но когда в исходной постановке появляются мистические $f$, $g$ вместо тех, что надо, да ещё $a$ и $a^+$ меняются местами, нужно быть очень твёрдым в вере, чтобы не дать лукавому себя запутать

[Munin]

Red_Herring в сообщении #943589 писал(а):

Но когда в исходной постановке появляются мистические $f$, $g$ вместо тех, что надо

Ну а возьмите негармонический осциллятор. Там тоже будут мистические $f,g$ (честно говоря, даже не знаю их выражение; может, стоит кубический осциллятор почитать, вот только где...).

[Red_Herring]

Если мы хотим чтобы $q=\frac{1}{\sqrt{2}}(a+a^+)$ и $p=\frac{1}{\sqrt{2}i}(a-a^+)$ были самосопряженными (неограниченными) операторами в Гильбертовом пространстве $H$, удовлетворяющими в правильно понимаемом смысле (потому как это неограниченные операторы и ограниченными они быть принципиально не могут!) $[p,q]=-i $ (множитель $\hbar $ несущественен), то как установил Г.Вейль в 1927 они с точностью до изоморфизма равны $-i\partial_x$ и $x$ соответственно в $L^2(\mathbb{R})\otimes K$. где $K$— какое-то другое Г.пр-во. Тогда $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(p+iq)= \frac{1}{\sqrt{2}} (x+\partial_x)$,
$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(-pi+q)= \frac{1}{\sqrt{2}} (x-\partial_x)$ и действуют как положено операторам уничтожения/рождения с $|n\rangle$—$n$–той эрмитовой функцией.

Т.е. самосопряженность плюс стандартные коммутационные соотношения влекут что $(a^+a+aa^+)= -\partial_x^2+x^2$.

[Munin]

(Оффтоп)

Чисто эстетическое замечание: $\frac{1}{\sqrt{2}i}$ весьма плохо читается (приходится разглядывать кончик черты радикала), лучше это писать как $\frac{1}{i\sqrt{2}}$ или вообще $\frac{-i}{\sqrt{2}}$ (как часто делают в физике).

Red_Herring в сообщении #943831 писал(а):

Т.е. самосопряженность плюс стандартные коммутационные соотношения влекут что $(a^+a+aa^+)= -\partial_x^2+x^2$.

Не просто самосопряжённость, а самосопряжённость именно $\begin{smallmatrix}1\\i\end{smallmatrix}(a\pm a^+).$ А если мы наложим условие самосопряжённости на какую-то другую функцию $a,a^+$? Вот тут-то и полезет негармоничность.

[amon]

Во-первых, предлагаю вынести dikiy благодарность с каким-нибудь занесением, - не каждому удается так переврать условия задачи, что бы получилась заготовка для куда более интересной задачи.

Во-вторых, слегка прокомментирую себя, любимого, с функционапьным уравнением. Критика всячески приветствуется, поскольку хочу из этого сделать задачку. Итак, гамильтониан и $aa^+$, а так же $a^+a$, имеют одинаковый полный набор собственных функций. Из двух последних можно собрать эрмитов оператор $aa^+ + a^+a$. Тогда гамильтониан будет функцией $\hat{H}=\varphi(aa^+ + a^+a)$, откуда после действия на $|n\rangle$ и получится

$$n+\frac{1}{2}=\varphi(f(n)g(n+1)+f(n-1)g(n)).$$

Возражения есть?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #943911 писал(а):

самосопряжённость именно $\begin{smallmatrix}1\\i\end{smallmatrix}(a\pm a^+).$

Нет: $a+a^+$ и $i(a-a^+)$.

amon в сообщении #943941 писал(а):

эрмитов оператор

Математики обычно считают, что эрмитов = ограниченный и симметричный. А если говорить о неограниченных операторах с областью $\mathfrak{D}(A)\subset H$, то симметричный это такой, что $A\subset A^*$ (т.е. $(Au,v)=(u,Av)$ для всех $u,v\in \mathfrak{D}(A)$ , а вот самосопряженный $A= A^*$. Проверка самосопряженности может быть очень сложным делом. Только для них. а не просто симметрических, есть эволюция, спектральное разложение, функция от оператора.

И не всякий симметрический оператор $B$ имеет самосопряженное расширение $A$: $B\subset A=A*\subset B^*$ (см преобразование Кэли, индексы дефекта).

И тут проблемка: если мы не знаем что $f(n)=g(n+1)$, то $a^+$ не будет сопряженным к $a$ и $a^+a+aa^+$ не будет обязательно самосопряженным (но для конкретных $a$ и $a^+$ из перевранной задачи будет).

[amon]

Спасибо, Red_Herring.

Red_Herring в сообщении #944010 писал(а):

Математики обычно считают, что эрмитов = ограниченный и симметричный.

А физики стараются об этом не думать, что бы не расстраиваться. То, что сопряженность $a$ и $a^+$ накладывает условие на $f$ и $g$ я прощелкал. А если обнаглеть окончательно, и считать эти функции комплексными, то условия $f^*(n)=g(n+1)$ достаточно для самосопряженности $a^+a+aa^+$?

[Red_Herring]

amon в сообщении #944077 писал(а):

А если обнаглеть окончательно, и считать эти функции комплексными, то условия $f^*(n)=g(n+1)$ достаточно для самосопряженности $a^+a+aa^+$?

Ну, конечно: это как раз условие $a^+$ сопряжен к $a$. Но это ничего не добавляет в том смысле, что если мы заменим $f(n)\to |f(n)|$, $g(n)\to |g(n)|$ то это просто эквивалентно унитарному преобразованию основного пространства.