2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 02:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
dikiy в сообщении #942838 писал(а):
энергия осциллятора ограничена, то так же и ограничена сумма квадратов собственных значений оператора $aa^+$....

А вот это не обязательно, поскольку любая функция от $aa^+$ может оказаться гамильтонианом (ведь, у нее такой же набор собственных функций, только собственные значения другие). Важнее, что есть состояние $|n_0 \rangle$, для которого $a^+|n_0 \rangle=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 03:05 


15/04/12
175
amon в сообщении #942840 писал(а):
dikiy в сообщении #942838 писал(а):
энергия осциллятора ограничена, то так же и ограничена сумма квадратов собственных значений оператора $aa^+$....

А вот это не обязательно, поскольку любая функция от $aa^+$ может оказаться гамильтонианом (ведь, у нее такой же набор собственных функций, только собственные значения другие). Важнее, что есть состояние $|n_0 \rangle$, для которого $a^+|n_0 \rangle=0$.

действительно. Мы же пока еще ничего не знаем о $f(n),g(n)$. А что тогда должно меня смущать в $E_{-\intfy}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

И почему должен существовать $|n_0 \rangle$ с $a^+|n_0 \rangle=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 03:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
dikiy в сообщении #942841 писал(а):
А что тогда должно меня смущать в $E_{-\infty}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

Должно смущать их количество. Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу. Значит действие $a^+$ должно чем-то закончится (число состояний "вниз" по $n$ конечно). Значит существует $n_0$ ... и далее по тексту. Дальше, видимо, надо пользоваться явным знанием спектра осциллятора.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 04:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Мне кажется, что $aa^+|n\rangle$ хотя и пропорционально $|n\rangle$, но коэффициент будет отличен от $f(n)g(n)$; следует пересчитать. А как насчет $a^+a|n\rangle$?

И следует ли считать, что $a^+$ сопряжен к $a$ в $l^2$ (пространстве квадратично суммируемых последовательностей)? Если да, то как связаны $f$ и $g$?

Считаем ли мы, что $n=n_0,n_0+1,\ldots$ и тем самым $|n_0-1\rangle=0$ или что $n$ пробегает $\mathbb{Z}$? (В принципе возможны и другие "смешанные" варианты, но тогда пространство распадается в прямую сумму подпространств, и операторы действуют на каждом из них).

И наконец, откуда взялся гармонический осциллятор? В условиях был просто "осциллятор"?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #942845 писал(а):
И наконец, откуда взялся гармонический осциллятор? В условиях был просто "осциллятор"?

В физике (на правах жаргона, но общепринятого) это практически синонимы. Когда надо говорить об исключениях, специально говорят "ангармонический" или "нелинейный осциллятор".

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 20:34 


15/04/12
175
amon в сообщении #942842 писал(а):
dikiy в сообщении #942841 писал(а):
А что тогда должно меня смущать в $E_{-\infty}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

Должно смущать их количество. Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу. Значит действие $a^+$ должно чем-то закончится (число состояний "вниз" по $n$ конечно). Значит существует $n_0$ ... и далее по тексту. Дальше, видимо, надо пользоваться явным знанием спектра осциллятора.

сегодня общался с преподавателем. Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения:

$$a^+=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}\left( q\sqrt{m\omega}-i\frac p {\sqrt{m\omega}}\right), a=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}\left( q\sqrt{m\omega}+i\frac p {\sqrt{m\omega}}\right)$$

Вроде все получилось. Я это определение видел конечно не раз, но не думал, что его можно использовать вот так вот сразу. Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора. И они всегда именно такие, как приведено выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 20:38 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
amon в сообщении #942842 писал(а):
Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу

Бр-р-р. Не надо приплетать физику к квантовой механике. :mrgreen: В этом месте.
dikiy в сообщении #942757 писал(а):
Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора, и его операторов уничтожения и рождения верно следующее:
dikiy в сообщении #943120 писал(а):
Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения:
Беда.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dikiy в сообщении #943120 писал(а):
Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения

Ну-у-у, это просто нечестно. В условиях задачи такого не было.

dikiy в сообщении #943120 писал(а):
Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора.

А вот тут вы ошибаетесь. Как раз определение у них первично, а то, что они такие-то в конкретном случае - вторично. Вы с этим ещё столкнётесь. (Самое меньшее, для операторов рождения и уничтожения фермионов. А вообще, для любого негармонического осциллятора.)

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 21:04 


15/04/12
175
Munin в сообщении #943132 писал(а):
dikiy в сообщении #943120 писал(а):
Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения

Ну-у-у, это просто нечестно. В условиях задачи такого не было.

Да, я тоже считаю, что можно было и получше сформулировать. Но это общая беда листков по физике, что я получаю. Непонятно, чем пользоваться можно, а чем нельзя...

ну а можно вообще решить задачу без изначального знания этой "формулы"?

Цитата:
dikiy в сообщении #943120 писал(а):
Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора.

А вот тут вы ошибаетесь. Как раз определение у них первично, а то, что они такие-то в конкретном случае - вторично. Вы с этим ещё столкнётесь. (Самое меньшее, для операторов рождения и уничтожения фермионов. А вообще, для любого негармонического осциллятора.)


Так а какое у них определение? Когда оператор $A$ можно называть оператором рождения/уничтожения? Я сегодня от преподавателя ответа на этот вопрос так и не получил.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 22:07 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
dikiy в [http://dxdy.ru/post943120.html#p943120]сообщении #p943120[/url] писал(а):
Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения: $a^+=... \,, a=... \,$
Знаки плюс, минус и крест в этих формулах правильно написаны, так что тут $a^+$ - оператор рождения; а в странном условии на первой странице перепутаны оба оператора. Но и теперь в этих формулах ошибка: вместо $\pi$ должна быть постоянная Планка $\hbar$. Имхо, подобные небрежности недопустимы: из-за них испорчен интересный и важный сюжет; жаль...

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 22:26 


15/04/12
175
Cos(x-pi/2) в сообщении #943188 писал(а):
dikiy в [http://dxdy.ru/post943120.html#p943120]сообщении #p943120[/url] писал(а):
Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения: $a^+=... \,, a=... \,$
Знаки плюс, минус и крест в этих формулах правильно написаны, так что тут $a^+$ - оператор рождения; а в странном условии на первой странице перепутаны оба оператора. Но и теперь в этих формулах ошибка: вместо $\pi$ должна быть постоянная Планка $\hbar$. Имхо, подобные небрежности недопустимы: из-за них испорчен интересный и важный сюжет; жаль...

да я по памяти писал, потому и вместо $\hbar$ $\pi$ вписал. А $a^+$ и $a$ сознательно написал так, как они и должны быть на самом деле.

А условие исходное я перепутал потому что плюсик мне показался крестиком. Ну и как бы по аналогии крест-могила-уничтожение => оператор уничтожения.


Так а что с определением? Когда оператор называется оператором рождения?

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 23:04 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
$a^+|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$ ,

$a\,|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle$ .

Оператор рождения увеличивает количество частиц на 1, уничтожения - уменьшает. Важны их коммутационные соотношения; они разные для бозе-операторов и ферми-операторов.

Лучше прочесть об этом подробно в книгах (например, ЛЛ-3, глава IX "Тождественность частиц", параграфы о вторичном квантовании). И читать не только определения, но и про то, как всё это хозяйство применяется в задачах; это главное. Основные применения - в статистической физике и в КТП.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 23:10 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
dikiy в сообщении #943209 писал(а):
Ну и как бы по аналогии крест-могила-уничтожение => оператор уничтожения.
:lol1: :appl:
С плюсиком добавляет единичку. Мне всегда хотелось, чтоб над оператором уничтожения стоял минус. Для красоты.
dikiy в сообщении #943209 писал(а):
потому и вместо $\hbar$ $\pi$ вписал.
Ну да, кто их там разберёт. Размерность? Порядок величины? Уместность в данном контексте? Не важно!
dikiy в сообщении #943209 писал(а):
Когда оператор называется оператором рождения?
Когда он что-то рождает.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение09.12.2014, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dikiy в сообщении #943157 писал(а):
Так а какое у них определение? Когда оператор $A$ можно называть оператором рождения/уничтожения? Я сегодня от преподавателя ответа на этот вопрос так и не получил.

Считается в общем случае так:
- рассматриваем спектр по энергии;
- этот спектр должен быть (1) дискретным, и (2) невырожденным. Ну, чтобы просто перенумеровать его целыми числами.
Тогда мы можем ввести оператор, который превращает $n$-е собственное состояние по энергии (то есть, $n$-й стационарный уровень энергии) - в $n+1$-е. Это и будет повышающий оператор. И аналогично, оператор, который превращает в $n-1$-е - это будет понижающий оператор. Это, собственно, и выражено формулами
$$a^{(-)}|n\rangle=(\text{число})\cdot|n-1\rangle,\qquad a^{(+)}|n\rangle=(\text{число})\cdot|n+1\rangle.$$ Это вы теперь уже должны понимать.

Обычно эти операторы выбираются во взаимно-сопряжённом виде, так что $(a^{(-)})^+=a^{(+)}.$ Если это случайно не так, то это можно поправить за счёт подгона чисел в определениях. Тогда можно использовать только один символ: $a,$ а второй из пары операторов будет попросту $a^+$ (повышающий обычно берут с "плюсиком", это мнемонически удобно запомнить). Ещё обычно эти операторы выбирают так, чтобы они переводили нормированное состояние в нормированное, и это можно сделать одновременно со взаимной сопряжённостью.

Уточню терминологию. Операторы, по сути, одни и те же, имеют разные названия в разных ситуациях, в которых они всплывают и применяются:
- в квантовой механике в чистом виде, мы обсуждаем некоторую конечномерную систему, например, одну частицу в потенциальной яме. Тогда эти операторы (в общем случае их ещё называют лестничными, потому что они "взбираются вверх и вниз на одну ступеньку"), называются повышающим оператором и понижающим оператором.
- во вторичном квантовании (это система переменного числа степеней свободы), и вообще в квантовой теории поля (это в общем случае бесконечномерная система), оказывается удобной такая интерпретация: когда нет ни одной частицы, то это энергетический уровень $0,$ когда в системе появилась одна (неподвижная) частица, то это энергетический уровень $mc^2,$ когда две частицы - то это $2mc^2,$ и так далее. Перебирать такие уровни энергии опять же удобно лестничными операторами, но здесь уже они получают другие названия: оператор рождения (потому что он "рождает частицу") и оператор уничтожения (потому что он "уничтожает частицу").

Использовать названия "оператор рождения" и "уничтожения" в другом смысле, вообще говоря, неправильно, но можно считать это огрехом или вольностью речи.

Ещё, исторически раньше эрмитово сопряжение для операторов обозначалось значком $a^\dagger,$ но когда это пишут рукой на доске, то получается неотличимо от "плюсика". Постепенно эта "неправильность" проникла и в книги, и сейчас уже в большинстве книг пишут именно $a^+.$ Но надо помнить, что этот "плюсик" никакого отношения к сложению, положительности и т. п. не имеет. Я подозреваю, что обозначение $a^\dagger$ возникло как вариант обозначения транспонирования действительного оператора: $a^\mathsf{T}.$

-- 09.12.2014 23:25:00 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #943248 писал(а):
Лучше прочесть об этом подробно в книгах (например, ЛЛ-3, глава IX "Тождественность частиц", параграфы о вторичном квантовании).

Но перед этим всё-таки - обязательно Мессиа 1-й том последняя глава. Это единственная глава, которую почему-то Ландау "забыл" вставить в учебник, хотя мог. (Осциллятор в ЛЛ-3 обсуждается, но без единого упоминания об лестничных операторах.)

-- 09.12.2014 23:27:57 --

Nemiroff в сообщении #943258 писал(а):
Мне всегда хотелось, чтоб над оператором уничтожения стоял минус. Для красоты.

Бывает и такое, но только не в теории поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: квантовый осциллятор и оператор уничтожения.
Сообщение10.12.2014, 02:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
Ну вот, почти уже решили, а оказалось, что никакой задачи и не было. Я уж было подумал, что кто-то наконец придумал корявую, но нестандартную задачу на лестничные операторы. Жалко.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group