квантовый осциллятор и оператор уничтожения.

[amon]

Ну?!

[Munin]

amon в сообщении #942803 писал(а):

Этого
...
равенства совсем не понял.

Я боюсь, что $|n-1\rangle$ было "раскрыто как скобочка" (чего делать, конечно, ни в коем случае нельзя).

dikiy в сообщении #942808 писал(а):

Или из того, что $|n \rangle$ собственное значение - следует, что и $|n+1 \rangle$ тоже?

Да, это тоже собственное значение, при другом значении $n.$

Если у вас плохо с бра-кет обозначениями, то пишите на черновике вместо $|n\rangle$ - $\psi_n,$ и вообще вместо любого $|\ldots\rangle$ - $\psi_{\ldots}.$

[dikiy]

amon в сообщении #942814 писал(а):

Ну?!

я не вижу :( Что дальше-то? Ни $x$, ни $p$ в это уравнение не входят.

-- 09.12.2014, 00:44 --

[quote="Munin в [url=http://dxdy.ru/post942815.html#p942815]
Если у вас плохо с бра-кет обозначениями, то пишите на черновике вместо $|n\rangle$ - $\psi_n,$ и вообще вместо любого $|\ldots\rangle$ - $\psi_{\ldots}.$[/quote]
у меня с ним не то что плохо, а вообще никак. Привык к обычным математическим обозначениям скалярных произведений и т.п. А с бра-кет никак сдружиться не могу.

[amon]

Есть такие собственные функции и собственные значения. С одной стороны $|n \rangle$ - собственная функция для какого-то собственного значения оператора Гамильтона гармонического осциллятора, а с другой?

[Munin]

Вот вся такая конструкция: $|\,\boxed{\phantom{xx}}\,\rangle$ - это неделимая вещь, как одна буква в многочлене (кет-вектор). Всё, что в ней записано внутри - это всего лишь обозначение, объяснение, указание на то, какой именно вектор имеется в виду. Там может быть номер состояния. Там может быть словесное описание состояния. Там может быть указано квантовое число, нумерующее состояния, или набор квантовых чисел, если состояния нумеруются набором. Там могут стоять всякие рисуночки-закорючки. Если там внутри стоит какая-то формула, с плюсами и минусами, то она не имеет никакого отношения к внешней формуле, в которую вставлен $|\,\boxed{\phantom{xx}}\,\rangle.$

[dikiy]

amon в сообщении #942817 писал(а):

Есть такие собственные функции и собственные значения. С одной стороны $|n \rangle$ - собственная функция для какого-то собственного значения оператора Гамильтона гармонического осциллятора, а с другой?

а с другой стороны оператор $aa^+$....
Так... Если я напишу $g(n)f(n)\psi_n=g(n)f(n)H\psi_n$, то могу получить

$H=\frac {aa^+}{g(n)f(n)}$...

а дальше опять затык.

-- 09.12.2014, 00:53 --

Munin в сообщении #942819 писал(а):

Вот вся такая конструкция: $|\,\boxed{\phantom{xx}}\,\rangle$ - это неделимая вещь, как одна буква в многочлене (кет-вектор). Всё, что в ней записано внутри - это всего лишь обозначение, объяснение, указание на то, какой именно вектор имеется в виду. Там может быть номер состояния. Там может быть словесное описание состояния. Там может быть указано квантовое число, нумерующее состояния, или набор квантовых чисел, если состояния нумеруются набором. Там могут стоять всякие рисуночки-закорючки. Если там внутри стоит какая-то формула, с плюсами и минусами, то она не имеет никакого отношения к внешней формуле, в которую вставлен $|\,\boxed{\phantom{xx}}\,\rangle.$

спасибо Вам большое! Я наверное уже пол-года с переменным успехом смотрю на это все, а вот этой вещи не знал!

[Munin]

dikiy в сообщении #942816 писал(а):

Привык к обычным математическим обозначениям скалярных произведений и т.п. А с бра-кет никак сдружиться не могу.

Вот к матричной алгебре привыкли? Там наиболее типичная строчка выглядит так: $a^{\mathrm{T}}BCDEFGh,$ что читается как

$$(\text{вектор-строка})\cdot(\text{матрица})\cdot\ldots\cdot(\text{матрица})\cdot(\text{вектор-столбец}).$$

(Вектор-строка в начале, вектор-столбец в конце могут отсутствовать, матриц встречается разное количество, от нуля включительно.) Теперь, в бра-кет обозначениях ситуация такая же, только значки приняты немного другие. А именно, наиболее типичная строчка выглядит так: $\langle a|BCDEFG|h\rangle,$ что читается как:

$$\langle(\text{бра-вектор})|\cdot(\text{оператор})\cdot\ldots\cdot(\text{оператор})\cdot|(\text{кет-вектор})\rangle.$$

Вместо транспонирования - эрмитово сопряжение (потому что имеем дело с комплексными числами), и векторы - подразумеваются не в каком-то базисе, а вообще в абстрактном смысле (и поэтому не матрицы, а операторы). И всё. Остальное то же самое.

-- 09.12.2014 01:58:37 --

dikiy в сообщении #942822 писал(а):

Так... Если я напишу $g(n)f(n)\psi_n=g(n)f(n)H\psi_n$, то могу получить

$H=\frac {aa^+}{g(n)f(n)}$...

а дальше опять затык.

Дык, это и есть потрясающий результат! Оказывается, у вас гамильтониан однозначно выражается через $aa^+$ и обратно (в знаменателе, обратите внимание, банальный скаляр *). А теперь, вы с другой стороны знаете, как гамильтониан выражается через операторы координаты и/или импульса.

[Cos(x-pi/2)]

Зачем-то у ТС в условии задачи перепутаны общепринятые обозначения операторов рождения и уничтожения (имхо, с крестом всегда повышающий был оператор, рожденья т.е.). И корни квадратные почему-то как $f(n)$ и $g(n)$ обозначены. Их, похоже, тоже требуется найти,... Имхо, если эти операторы с точностью до постоянного множителя задать, то и коммутатор будет не единица. Не нравится мне такое условие задачки: с толку сбивает и без того не особо-то подготовленную молодёжь.

[Munin]

*) Ну, точнее, не совсем банальный...

[amon]

dikiy в сообщении #942822 писал(а):

Так... Если я напишу $g(n)f(n)\psi_n=g(n)f(n)H\psi_n$, то могу получить

Куда торопимся... Пока все, что мы выяснили, это что $aa^+$ и Гамильтониан имеют один и тот же набор собственных функций. Из этого следует, что они коммутируют, и ничего более (Вы же, вроде, математику знаете). Теперь думаем о том, что $n$ как-то нумерует собственные функции Гамильтониана, и с помощью $a$ или $a^+$ можно формально прибежать к $n=\infty$ или $n=-\infty$. Не противоречит ли это чему-нибудь, что мы знаем об осцилляторах?

(Оффтоп)

Меня завтра на форуме не будет. Просьба помочь человеку разобраться

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Видимо, это как раз чтобы не скатывали.

[amon]

Cos(x-pi/2) в сообщении #942824 писал(а):

Зачем-то у ТС в условии задачи
перепутаны общепринятые обозначения операторов рождения и уничтожения

А что бы не списывали (IMHO)

[dikiy]

Munin в сообщении #942823 писал(а):

Так... Если я напишу $g(n)f(n)\psi_n=g(n)f(n)H\psi_n$, то могу получить

$H=\frac {aa^+}{g(n)f(n)}$...

а дальше опять затык.

Дык, это и есть потрясающий результат! Оказывается, у вас гамильтониан однозначно выражается через $aa^+$ и обратно (в знаменателе, обратите внимание, банальный скаляр *). А теперь, вы с другой стороны знаете, как гамильтониан выражается через операторы координаты и/или импульса.[/quote]
только я ошибся немного. Ведь $\psi_n=\frac 1 {\lambda(n)} H\psi_n.$ Да и $g,f$ от $n$ зависят, так что равенства операторов не получится сразу так.

-- 09.12.2014, 01:15 --

amon в сообщении #942826 писал(а):

dikiy в сообщении #942822 писал(а):

Так... Если я напишу $g(n)f(n)\psi_n=g(n)f(n)H\psi_n$, то могу получить

Куда торопимся... Пока все, что мы выяснили, это что $aa^+$ и Гамильтониан имеют один и тот же набор собственных функций. Из этого следует, что они коммутируют, и ничего более (Вы же, вроде, математику знаете). Теперь думаем о том, что $n$ как-то нумерует собственные функции Гамильтониана, и с помощью $a$ или $a^+$ можно формально прибежать к $n=\infty$ или $n=-\infty$. Не противоречит ли это чему-нибудь, что мы знаем об осцилляторах?

Что значит "прибежать"? Чему противоречит?.... Я могу только пальцем в небо ткнуть. Из книжки я понял, что волны-решения должны затухать на бесконечности, как-то так.

[amon]

dikiy в сообщении #942830 писал(а):

Что значит "прибежать"? Чему противоречит?

Каждому $n$ соответствует некоторое собственное значение энергии. Пусть эти значения нумеруются в порядке возрастания. Значению $n$ соответствует энергия $E_n$ С помощью $a^+$ я формально получу $E_{-\infty}$. Вас это не пугает?

[dikiy]

amon в сообщении #942835 писал(а):

dikiy в сообщении #942830 писал(а):

Что значит "прибежать"? Чему противоречит?

Каждому $n$ соответствует некоторое собственное значение энергии. Пусть эти значения нумеруются в порядке возрастания. Значению $n$ соответствует энергия $E_n$ С помощью $a^+$ я формально получу $E_{-\infty}$. Вас это не пугает?

Ага, теперь я, кажется, понял. Раз собственные состояния одинаковые, а собственные состояния осциллятора составляют полный базис в пространстве. И кроме всего прочего, энергия осциллятора ограничена, то так же и ограничена сумма квадратов собственных значений оператора $aa^+$.... А что дальше?