квантовый осциллятор и оператор уничтожения.

[amon]

Ну вот и здорово. Если получится придумать на эту тему задачку по квантовой механике для продвинутых детей - представлю на суд общественности.

[dikiy]

Red_Herring в сообщении #944010 писал(а):

эрмитов оператор

Математики обычно считают, что эрмитов = ограниченный и симметричный.[/quote]
емнип, эрмитов - это симметричный оператор, в котором область определения лежит плотно в пространстве. Об ограниченности речи нет изначально.

[g______d]

dikiy в сообщении #944720 писал(а):

емнип, эрмитов - это симметричный оператор, в котором область определения лежит плотно в пространстве.

Часто симметрический оператор автоматически предполагается плотно определенным.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #944729 писал(а):

Часто симметрический оператор автоматически предполагается плотно определенным.

И то же обычно предполагается для любого оператора. Единственное исключение—это когда оператор получается не плотно определенным, например преобразование Кэли.

Я сейчас просмотрел несколько авторитетных книг и они обходят этот вопрос (говоря только об эрмитовых матрицах), В этом смысле "неограниченный эрмитов" выглядит неоправданным расширением.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #944010 писал(а):

Нет: $a+a^+$ и $i(a-a^+)$.

Я это и написал. Единичка с плюсом, $i$ с минусом. Ну извините за корявость. Я подумал, что $i^{(1\mp 1)/2}$ будет выглядеть ещё корявее.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #945309 писал(а):

Я это и написал. Единичка с плюсом, $i$ с минусом.

Да, конечно, но такие обозначения малоупотребительны и меня ввели в заблуждение (показалось дробью, а отсутствие чёрточки не заметил)

[Munin]

Извините. (Действительно, малоупотребительны, примерно один я тут их один раз и употребил :-)

[dikiy]

Red_Herring в сообщении #944877 писал(а):

g______d в сообщении #944729 писал(а):

Часто симметрический оператор автоматически предполагается плотно определенным.

И то же обычно предполагается для любого оператора. Единственное исключение—это когда оператор получается не плотно определенным, например преобразование Кэли.

Я сейчас просмотрел несколько авторитетных книг и они обходят этот вопрос (говоря только об эрмитовых матрицах), В этом смысле "неограниченный эрмитов" выглядит неоправданным расширением.

Почему же? Ведь при построении спектральной теории от эрмитовых операторов происходит переход в самосопряженные. Самосопряженный оператор является также и эрмитовым. И при всем при этом они в общем случае неограничены.

[Red_Herring]

Это дело терминологическое, но неограниченный оператор с неплотной областью определения такая экзотика, что в определении неограниченного, в т.ч. симметрического оператора плотность области подразумевается. Разумеется спектральная теория строится также и для самосопряженных операторов, но обычно она строится не напрямую, а через их преобразование Кэли и $C^*$-алгебры, хотя конечно, можно строить через порождаемые ими группы и преобразование Фурье.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #944877 писал(а):

Я сейчас просмотрел несколько авторитетных книг и они обходят этот вопрос (говоря только об эрмитовых матрицах), В этом смысле "неограниченный эрмитов" выглядит неоправданным расширением.

Я даже не припомню использования термина "эрмитов" для ограниченных самосопряжённых операторов в бесконечномерных пространствах, и вообще для операторов. Только для матриц.

Этот термин очень удобен, если мы работаем в гильбертовом пространстве векторнозначных функций, что в квантовой механике сплошь и рядом. Тогда слово "самосопряжённый" зарезервировано за операторами в основном пространстве, но ведь как-то еще надо называть матрицы в маленьком (конечномерном) пространстве значений. Например, матричный потенциал является оператором умножения на матричнозначную функцию, значения которой эрмитовы.

Кроме того, в термине "эрмитовы" есть некоторый акцент в сторону того, что это просто набор соотношений между матричными элементами (желательно конечное число), а не хитрое равенство с тщательным изучением областей определения.

Но это скорее моё общее впечатление от использования терминов.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #945932 писал(а):

Этот термин очень удобен, если мы работаем в гильбертовом пространстве векторнозначных функций, что в квантовой механике сплошь и рядом

Не только в квантовой механике, и этот термин весьма удобен. Хотя случается нередко, что эти функции принимают значения в гильбертовых пространствах и матричные элементы—неограниченные операторы (обычно определенные на общем всюду плотном множестве)