квантовый осциллятор и оператор уничтожения.

[amon]

dikiy в сообщении #942838 писал(а):

энергия осциллятора ограничена, то так же и ограничена сумма квадратов собственных значений оператора $aa^+$....

А вот это не обязательно, поскольку любая функция от $aa^+$ может оказаться гамильтонианом (ведь, у нее такой же набор собственных функций, только собственные значения другие). Важнее, что есть состояние $|n_0 \rangle$, для которого $a^+|n_0 \rangle=0$.

[dikiy]

amon в сообщении #942840 писал(а):

dikiy в сообщении #942838 писал(а):

энергия осциллятора ограничена, то так же и ограничена сумма квадратов собственных значений оператора $aa^+$....

А вот это не обязательно, поскольку любая функция от $aa^+$ может оказаться гамильтонианом (ведь, у нее такой же набор собственных функций, только собственные значения другие). Важнее, что есть состояние $|n_0 \rangle$, для которого $a^+|n_0 \rangle=0$.

действительно. Мы же пока еще ничего не знаем о $f(n),g(n)$. А что тогда должно меня смущать в $E_{-\intfy}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

И почему должен существовать $|n_0 \rangle$ с $a^+|n_0 \rangle=0$?

[amon]

dikiy в сообщении #942841 писал(а):

А что тогда должно меня смущать в $E_{-\infty}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

Должно смущать их количество. Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу. Значит действие $a^+$ должно чем-то закончится (число состояний "вниз" по $n$ конечно). Значит существует $n_0$ ... и далее по тексту. Дальше, видимо, надо пользоваться явным знанием спектра осциллятора.

[Red_Herring]

Мне кажется, что $aa^+|n\rangle$ хотя и пропорционально $|n\rangle$, но коэффициент будет отличен от $f(n)g(n)$; следует пересчитать. А как насчет $a^+a|n\rangle$?

И следует ли считать, что $a^+$ сопряжен к $a$ в $l^2$ (пространстве квадратично суммируемых последовательностей)? Если да, то как связаны $f$ и $g$?

Считаем ли мы, что $n=n_0,n_0+1,\ldots$ и тем самым $|n_0-1\rangle=0$ или что $n$ пробегает $\mathbb{Z}$? (В принципе возможны и другие "смешанные" варианты, но тогда пространство распадается в прямую сумму подпространств, и операторы действуют на каждом из них).

И наконец, откуда взялся гармонический осциллятор? В условиях был просто "осциллятор"?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #942845 писал(а):

И наконец, откуда взялся гармонический осциллятор? В условиях был просто "осциллятор"?

В физике (на правах жаргона, но общепринятого) это практически синонимы. Когда надо говорить об исключениях, специально говорят "ангармонический" или "нелинейный осциллятор".

[dikiy]

amon в сообщении #942842 писал(а):

dikiy в сообщении #942841 писал(а):

А что тогда должно меня смущать в $E_{-\infty}$? Ведь пока еще собственные значения операторов $H$ и $aa^+$ никак не связаны.

Должно смущать их количество. Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу. Значит действие $a^+$ должно чем-то закончится (число состояний "вниз" по $n$ конечно). Значит существует $n_0$ ... и далее по тексту. Дальше, видимо, надо пользоваться явным знанием спектра осциллятора.

сегодня общался с преподавателем. Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения:

$$a^+=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}\left( q\sqrt{m\omega}-i\frac p {\sqrt{m\omega}}\right), a=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}\left( q\sqrt{m\omega}+i\frac p {\sqrt{m\omega}}\right)$$

Вроде все получилось. Я это определение видел конечно не раз, но не думал, что его можно использовать вот так вот сразу. Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора. И они всегда именно такие, как приведено выше.

[Nemiroff]

amon в сообщении #942842 писал(а):

Мы ведь знаем гамильтониан (осциллятор), значит знаем, что спектр ограничен снизу

Бр-р-р. Не надо приплетать физику к квантовой механике. В этом месте.

dikiy в сообщении #942757 писал(а):

Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора, и его операторов уничтожения и рождения верно следующее:

dikiy в сообщении #943120 писал(а):

Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения:

Беда.

[Munin]

dikiy в сообщении #943120 писал(а):

Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения

Ну-у-у, это просто нечестно. В условиях задачи такого не было.

dikiy в сообщении #943120 писал(а):

Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора.

А вот тут вы ошибаетесь. Как раз определение у них первично, а то, что они такие-то в конкретном случае - вторично. Вы с этим ещё столкнётесь. (Самое меньшее, для операторов рождения и уничтожения фермионов. А вообще, для любого негармонического осциллятора.)

[dikiy]

Munin в сообщении #943132 писал(а):

dikiy в сообщении #943120 писал(а):

Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения

Ну-у-у, это просто нечестно. В условиях задачи такого не было.

Да, я тоже считаю, что можно было и получше сформулировать. Но это общая беда листков по физике, что я получаю. Непонятно, чем пользоваться можно, а чем нельзя...

ну а можно вообще решить задачу без изначального знания этой "формулы"?

Цитата:

dikiy в сообщении #943120 писал(а):

Выяснилось, что операторы рождения/уничтожения это не какое-то определение, а просто имя нарицательное у конкретных преобразований координат в конкретном случае гармонического осциллятора.

А вот тут вы ошибаетесь. Как раз определение у них первично, а то, что они такие-то в конкретном случае - вторично. Вы с этим ещё столкнётесь. (Самое меньшее, для операторов рождения и уничтожения фермионов. А вообще, для любого негармонического осциллятора.)

Так а какое у них определение? Когда оператор $A$ можно называть оператором рождения/уничтожения? Я сегодня от преподавателя ответа на этот вопрос так и не получил.

[Cos(x-pi/2)]

dikiy в [http://dxdy.ru/post943120.html#p943120]сообщении #p943120[/url] писал(а):

Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения: $a^+=... \,, a=... \,$

Знаки плюс, минус и крест в этих формулах правильно написаны, так что тут $a^+$ - оператор рождения; а в странном условии на первой странице перепутаны оба оператора. Но и теперь в этих формулах ошибка: вместо $\pi$ должна быть постоянная Планка $\hbar$. Имхо, подобные небрежности недопустимы: из-за них испорчен интересный и важный сюжет; жаль...

[dikiy]

Cos(x-pi/2) в сообщении #943188 писал(а):

dikiy в [http://dxdy.ru/post943120.html#p943120]сообщении #p943120[/url] писал(а):

Он сказал, что надо просто использовать в качестве определения: $a^+=... \,, a=... \,$

Знаки плюс, минус и крест в этих формулах правильно написаны, так что тут $a^+$ - оператор рождения; а в странном условии на первой странице перепутаны оба оператора. Но и теперь в этих формулах ошибка: вместо $\pi$ должна быть постоянная Планка $\hbar$. Имхо, подобные небрежности недопустимы: из-за них испорчен интересный и важный сюжет; жаль...

да я по памяти писал, потому и вместо $\hbar$ $\pi$ вписал. А $a^+$ и $a$ сознательно написал так, как они и должны быть на самом деле.

А условие исходное я перепутал потому что плюсик мне показался крестиком. Ну и как бы по аналогии крест-могила-уничтожение => оператор уничтожения.


Так а что с определением? Когда оператор называется оператором рождения?

[Cos(x-pi/2)]

$a^+|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$ ,

$a\,|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle$ .

Оператор рождения увеличивает количество частиц на 1, уничтожения - уменьшает. Важны их коммутационные соотношения; они разные для бозе-операторов и ферми-операторов.

Лучше прочесть об этом подробно в книгах (например, ЛЛ-3, глава IX "Тождественность частиц", параграфы о вторичном квантовании). И читать не только определения, но и про то, как всё это хозяйство применяется в задачах; это главное. Основные применения - в статистической физике и в КТП.

[Nemiroff]

dikiy в сообщении #943209 писал(а):

Ну и как бы по аналогии крест-могила-уничтожение => оператор уничтожения.

С плюсиком добавляет единичку. Мне всегда хотелось, чтоб над оператором уничтожения стоял минус. Для красоты.

dikiy в сообщении #943209 писал(а):

потому и вместо $\hbar$ $\pi$ вписал.

Ну да, кто их там разберёт. Размерность? Порядок величины? Уместность в данном контексте? Не важно!

dikiy в сообщении #943209 писал(а):

Когда оператор называется оператором рождения?

Когда он что-то рождает.

[Munin]

dikiy в сообщении #943157 писал(а):

Так а какое у них определение? Когда оператор $A$ можно называть оператором рождения/уничтожения? Я сегодня от преподавателя ответа на этот вопрос так и не получил.

Считается в общем случае так:
- рассматриваем спектр по энергии;
- этот спектр должен быть (1) дискретным, и (2) невырожденным. Ну, чтобы просто перенумеровать его целыми числами.
Тогда мы можем ввести оператор, который превращает $n$-е собственное состояние по энергии (то есть, $n$-й стационарный уровень энергии) - в $n+1$-е. Это и будет повышающий оператор. И аналогично, оператор, который превращает в $n-1$-е - это будет понижающий оператор. Это, собственно, и выражено формулами

$$a^{(-)}|n\rangle=(\text{число})\cdot|n-1\rangle,\qquad a^{(+)}|n\rangle=(\text{число})\cdot|n+1\rangle.$$

Это вы теперь уже должны понимать.

Обычно эти операторы выбираются во взаимно-сопряжённом виде, так что $(a^{(-)})^+=a^{(+)}.$ Если это случайно не так, то это можно поправить за счёт подгона чисел в определениях. Тогда можно использовать только один символ: $a,$ а второй из пары операторов будет попросту $a^+$ (повышающий обычно берут с "плюсиком", это мнемонически удобно запомнить). Ещё обычно эти операторы выбирают так, чтобы они переводили нормированное состояние в нормированное, и это можно сделать одновременно со взаимной сопряжённостью.

Уточню терминологию. Операторы, по сути, одни и те же, имеют разные названия в разных ситуациях, в которых они всплывают и применяются:
- в квантовой механике в чистом виде, мы обсуждаем некоторую конечномерную систему, например, одну частицу в потенциальной яме. Тогда эти операторы (в общем случае их ещё называют лестничными, потому что они "взбираются вверх и вниз на одну ступеньку"), называются повышающим оператором и понижающим оператором.
- во вторичном квантовании (это система переменного числа степеней свободы), и вообще в квантовой теории поля (это в общем случае бесконечномерная система), оказывается удобной такая интерпретация: когда нет ни одной частицы, то это энергетический уровень $0,$ когда в системе появилась одна (неподвижная) частица, то это энергетический уровень $mc^2,$ когда две частицы - то это $2mc^2,$ и так далее. Перебирать такие уровни энергии опять же удобно лестничными операторами, но здесь уже они получают другие названия: оператор рождения (потому что он "рождает частицу") и оператор уничтожения (потому что он "уничтожает частицу").

Использовать названия "оператор рождения" и "уничтожения" в другом смысле, вообще говоря, неправильно, но можно считать это огрехом или вольностью речи.

Ещё, исторически раньше эрмитово сопряжение для операторов обозначалось значком $a^\dagger,$ но когда это пишут рукой на доске, то получается неотличимо от "плюсика". Постепенно эта "неправильность" проникла и в книги, и сейчас уже в большинстве книг пишут именно $a^+.$ Но надо помнить, что этот "плюсик" никакого отношения к сложению, положительности и т. п. не имеет. Я подозреваю, что обозначение $a^\dagger$ возникло как вариант обозначения транспонирования действительного оператора: $a^\mathsf{T}.$

-- 09.12.2014 23:25:00 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #943248 писал(а):

Лучше прочесть об этом подробно в книгах (например, ЛЛ-3, глава IX "Тождественность частиц", параграфы о вторичном квантовании).

Но перед этим всё-таки - обязательно Мессиа 1-й том последняя глава. Это единственная глава, которую почему-то Ландау "забыл" вставить в учебник, хотя мог. (Осциллятор в ЛЛ-3 обсуждается, но без единого упоминания об лестничных операторах.)

-- 09.12.2014 23:27:57 --

Nemiroff в сообщении #943258 писал(а):

Мне всегда хотелось, чтоб над оператором уничтожения стоял минус. Для красоты.

Бывает и такое, но только не в теории поля.

[amon]

Ну вот, почти уже решили, а оказалось, что никакой задачи и не было. Я уж было подумал, что кто-то наконец придумал корявую, но нестандартную задачу на лестничные операторы. Жалко.