квантовый осциллятор и оператор уничтожения.

[dikiy]

Есть задача:

"Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора, и его операторов уничтожения и рождения верно следующее:

$$a|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a^+|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

какова зависимость между $a,a^+$ и $x,p$? Вычислите, используя $[p,x]=-i \hbar,$ коммутатор $[a^+,a].$"

Я не понимаю, как я могу на основании данных задачи найти зависимость между, допустим, $a$ и $x,p.$ Ну и непонятно также вообще определение оператора уничтожения/рождения в общем случае.

[amon]

dikiy в сообщении #942757 писал(а):

Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора

Этой фразой сказано почти все.

[dikiy]

amon в сообщении #942766 писал(а):

dikiy в сообщении #942757 писал(а):

Для собственного состояния $|n\rangle$ квантового осциллятора

Этой фразой сказано почти все.

Ага. Тогда мы имеем:

$$\left(-\frac {\hbar^2} {2m} \Delta_r+\frac 1 2 m\omega^2 r^2\right)|n \rangle = c|n \rangle.$$

но что дальше? как мне привязать сюда вышестоящие формулы для операторов рождения и уничтожения?

[Red_Herring]

dikiy
Эта задача не имеет никакого отношения к Шрёдингеру, $\hbar$, операторов координаты и импульса. Всё гораздо проще. Что такое $|n\rangle$? Как раз него действуют $a$ и $a^+$? Посчитайте $aa^+$ и $a^+a$ и найдите разность

[amon]

Не надо ужасов. Пусть осциллятор будет одномерный. Поиграйте с одновременным действием $a$ и $a^+$ на $|n\rangle$.

-- 09.12.2014, 00:47 --

Red_Herring в сообщении #942783 писал(а):

Эта задача не имеет никакого отношения к Шрёдингеру

А $p$ и $q$ через $a$ как найдем?

[Munin]

Подробно теорию см. Мессиа, 1-й том последняя глава.
Правда, там может быть нечаянно написано и решение вашей задачи. Ну вы уж не подглядывайте внаглую.

[amon]

(Оффтоп)

Как я понял, в условии лежат некоторые, правда хилые, грабли, что бы прямое списывание не прокатило

[dikiy]

amon в сообщении #942784 писал(а):

Не надо ужасов. Пусть осциллятор будет одномерный. Поиграйте с одновременным действием $a$ и $a^+$ на $|n\rangle$.

Мне непонятно, каким образом вписать $a,a^+$ в оператор Гамильтона. Ведь по идее нам это не дано.
И что вы имеете в виду под "поиграйте"? Я же про $|n \rangle$ ничего не знаю, помимо того, что это собственные значения оператора

$$-\frac {\hbar}{2m}\frac {\partial^2} {\partial x^2}+\frac 1 2 m\omega^2 x^2$$

Я пока не понимаю, каким образом увязать операторы рождения/уничтожения с оператором гамильтона.

[amon]

dikiy в сообщении #942790 писал(а):

Я же про $|n \rangle$ ничего не знаю

На самом деле, все знаете.
Как действуют произведения операторов рождения и уничтожения на $|n \rangle$?

[Red_Herring]

amon в сообщении #942784 писал(а):

А $p$ и $q$ через $a$ как найдем?

Если я правильно понял после Вашего вопроса, то в задаче $p$ и $q$ отнюдь не есть операторы импульса и координаты, а некие операторы в том же пространстве состояний выраженные через $a,a^+$. Но даже в таком виде мы отнюдь не говорим об операторе Шредингера $-\hbar^2 \Delta + V(q)$

[dikiy]

amon в сообщении #942794 писал(а):

dikiy в сообщении #942790 писал(а):

Я же про $|n \rangle$ ничего не знаю

На самом деле, все знаете.
Как действуют произведения операторов рождения и уничтожения на $|n \rangle$?

попробую написать:

$$aa^+|n \rangle = a g(n) |n-1 \rangle = g(n) a|n-1 \rangle = g(n) a|n \rangle-g(n) a |1\rangle=g(n)f(n)|n \rangle + g(n) f(n) |1 \rangle - g(n) a|1 \rangle.$$

но мне это, к сожалению, пока ни о чем не говорит.

[amon]

Red_Herring в сообщении #942800 писал(а):

Если я правильно понял после Вашего вопроса, то в задаче $p$ и $q$ отнюдь не есть операторы импульса и координаты, а некие операторы в том же пространстве состояний выраженные через $a,a^+$.

Как я понимаю, в данной задаче гильбертово пространство всех операторов общее. При этом состояние $|n \rangle$ может быть написано, например, в $x$-представлении, а может - в представлении Фока-Баргмана. На решении это, вроде, не скажется.

-- 09.12.2014, 01:18 --

Этого

dikiy в сообщении #942802 писал(а):

$$g(n) a|n-1 \rangle = g(n) a|n \rangle-g(n) a |1\rangle$$

равенства совсем не понял. Это

$$a|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a^+|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

выполняется для любого $n$.

[dikiy]

amon в сообщении #942803 писал(а):

Этого

dikiy в сообщении #942802 писал(а):

$$g(n) a|n-1 \rangle = g(n) a|n \rangle-g(n) a |1\rangle$$

равенства совсем не понял. Это

$$a|n\rangle = f(n)|n+1\rangle,\ a^+|n \rangle = g(n)| n-1 \rangle$$

выполняется для любого $n$.

не для любого же, а только для собственных значений оператора гамильтона квантового осциллятора. Или из того, что $|n \rangle$ собственное значение - следует, что и $|n+1 \rangle$ тоже?

И кстати, что значит эта единица? Это единичный оператор?

[amon]

Буковка $n$ нумерует состояния осциллятора. Будем считать (в условии этого, вроде, нет), что для любого $n$ выполняется то, что выполняется.

(Оффтоп)

Я чего-то не соображу, нужно оговаривать, что для "всех $n$", или одного какого-нибудь достаточно.

[dikiy]

amon в сообщении #942812 писал(а):

Буковка $n$ нумерует состояния осциллятора. Будем считать (в условии этого, вроде, нет), что для любого $n$ выполняется то, что выполняется.

(Оффтоп)

Я чего-то не соображу, нужно оговаривать, что для "всех $n$", или одного какого-нибудь достаточно.

ну, допустим так, тогда у меня получится

$$aa^+|n \rangle = g(n)f(n)|n \rangle$$

.