Электростатика.Цилиндрическая коробка

[Whoever]

DimaM
Чтобы проверять правильность вычислений. (Единица - коэффициент при $\[{{z^2}}\]$ )

[DimaM]

Whoever
Теперь надо подставить пределы и сократить лишнее (без введения $z_0$, по-моему, вышло бы проще).
И еще вклад от диска учесть.

[Whoever]

DimaM
$\[\begin{array}{l} \varphi (z) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\ln (2\sqrt 1 \sqrt {{z^2} - 2{z_0}z + {R^2} + z_0^2} + 2z - 2{z_0})}}{{\sqrt 1 }}\mathop {\left. {} \right|}\limits_{ - h}^h = \\ = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{2\sqrt {{h^2} - 2{z_0}h + {R^2} + z_0^2} + 2h - 2{z_0}}}{{2\sqrt {{h^2} + 2{z_0}h + {R^2} + z_0^2} - 2h - 2{z_0}}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}}{{\sqrt {{{(h + {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}} \end{array}\]$

$\[\varphi (z) = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}(\sqrt {{{(z + h)}^2} + {R^2}} - \left| {z + h} \right|)\]$ - потенциал диска в точке $\[z = -h\]$

[DimaM]

Whoever
Что такое $z_0$? В условиях задачи, вроде, нет такой буквы.

Whoever в сообщении #939605 писал(а):

потенциал диска в точке $\[z = -h\]$

Что такое $z$ в формуле?

[Whoever]

DimaM
$\[{z_0}\]$ - это точка центра кольца/диска.

Пардон, потенциал диска в точке $\[{z_0} = - h\]$

[DimaM]

Whoever
В задаче, насколько я понял условия, требуется найти разность потенциалов между краями цилиндра. То есть в ответ должны входить $r$ и $h$, но никаких $z_0$.

[Whoever]

DimaM

Цитата:

Какую работу совершает поле, создаваемое этой коробкой, при перемещении заряда $\[e\]$ вдоль оси $\[Oz\]$ из точки с координатой $\[z = 0\]$ в точку $\[z = 2h\]$ ?

[DimaM]

Whoever
Угу. Ну и где в условиях $z_0$?

[Whoever]

Оратор перед Вами :

Цитата:

В Ваших формулах кольцо и диск лежат в плоскости $YZ$, и их центр совмещен с началом координат. Перепишите эти формулы для объекта, лежащего в плоскости $XY$, с центром в произвольной точке оси $Z$.

Получили
$\[d\phi = \frac{{{q_1}\frac{{dz}}{{2h}}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}} = \frac{{{q_1}dz}}{{8h\pi {\varepsilon _0}{{({R^2} + {{(z - {z_0})}^2})}^{1/2}}}}\]$

[DimaM]

Whoever
По-моему, пределы вам надо подставлять не вместо $z$, а вместо $z-z_0$.

[amon]

Whoever в сообщении #939573 писал(а):

$\[ = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_{ - h}^h {\frac{{dz}}{{\sqrt {{z^2} - 2{z_0}z + {R^2} + z_0^2} }}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\ln (2\sqrt 1 \sqrt {{z^2} - 2{z_0}z + {R^2} + z_0^2} + 2z - 2{z_0})}}{{\sqrt 1 }}\mathop {\left. {} \right|}\limits_{ - h}^h \]$

Наврано, по-моему, у Вас в интегрировании. Интеграл-то табличный, вида $\int\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$. И вспомните, что $z_0$ это точка, где считаем потенциал.

[Whoever]

amon
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... Bbx%2Bc%29

-- 03.12.2014, 22:13 --

$\[\varphi ({z_0}) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}}{{\sqrt {{{(h + {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}}\]$

$\[\varphi (0) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} + {h_0}}}{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} + {h_0}}} = 0\]$

$\[\varphi (2h) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - 2h)}^2} + {R^2}} + h - 2h}}{{\sqrt {{{(h + 2h)}^2} + {R^2}} + h - 2h}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} - h}}{{\sqrt {9{h^2} + {R^2}} - h}}\]$

Потенциал диска, расположенного в точке $\[{z_0} = - h\]$ :

$\[\varphi (z) = \frac{\sigma }{{2{\varepsilon _0}}}(\sqrt {{{(z + h)}^2} + {R^2}} - \left| {z + h} \right|)\]$

Все верно?

[amon]

$\[\varphi ({z_0}) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}}{{\sqrt {{{(h + {z_0})}^2} + {R^2}} {\bf- h} - {z_0}}}\]$

[Whoever]

amon
Да.
$\[\begin{array}{l} \varphi ({z_0}) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - {z_0})}^2} + {R^2}} + h - {z_0}}}{{\sqrt {{{(h + {z_0})}^2} + {R^2}} - h - {z_0}}}\\ \varphi (0) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} + {h_{}}}}{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} - {h_{}}}} = 0\\ \varphi (2h) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{{(h - 2h)}^2} + {R^2}} + h - 2h}}{{\sqrt {{{(h + 2h)}^2} + {R^2}} - h - 2h}} = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} - h}}{{\sqrt {9{h^2} + {R^2}} - 3h}} \end{array}\]$

[amon]

$ \varphi (0) = \frac{{{q_1}}}{{8h\pi {\varepsilon _0}}}\ln \frac{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} + {h_{}}}}{{\sqrt {{h^2} + {R^2}} - {h_{}}}} \ne 0$



Ну вот, теперь осталось понять: в условии задачи $h$ и $a$ - это одно и тоже или нет (я этого не знаю!), и написать ответ.