Задача с 6 всесоюзной олимпиады, 1972 г., Тбилиси

[zvm]

Батороев в сообщении #938646 писал(а):

(Оффтоп)

А у меня "дурацкий вопрос": Может ли динамометр показывать значение силы, отличное от величины приложенной?

(Оффтоп)

Конечно. А что прикажете ему делать, если с разрых сторон к его пружине приложены разные силы? Естественно, динамометр будет двигаться с ускорением, а масса пружины не может считаться нулевой.

[Skeptic]

Не совсем так. Всё зависит от направления движения, потому что корпус динамометра присоединён только к одному концу пружины.

[hurtsy]

Есть в этой чудной задаче еще тайна, отбивающая всякое желание участвовать в её решении, несмотря на сладкозвучные разъяснения "птички Эдгара По". Пусть сила трения равна нулю. Типа по умолчанию. Зачем тогда говорить о равноускоренном движении. Скромная, по сравнению с весом пудовой гири, сила 4Н любую конечную массу двигает равноускоренно? Хоть не очень заметно для глаза. С уважением.

[Skeptic]

dovlato
Необязательно было так сложно вычислять показания динамометра. Общеизвестно, что динамометр показывает полусумму действующих на него сил независимо от конструкции.

Силы $f_1$ и $f_2 описаны как "на правый конец пружины действует сила $f_1$, а на левый $f_2$". Значения сил $f_1$ и $f_2$ не заданы. Затем вы подставляете в них конкретные значения.

Цитата:

... соответствует силе $f$, действующей на динамометр в обычном состоянии, равной$f=\frac{f_1+f_2}{2}$ Именно её этот динамометр и покажет. В данном случае, если считать, что трения нет, она будет равна (2+4)/2=3 ньютона. При наличии трения она станет больше, вплоть до 4 н.

Не трудно видеть, что $f_1=2$, и $f_2=4$. Итак, на левый конец действует полная сила. Какая сила действует на правый конец? Как она появилась?

Полезно преставить динамометр как два элемента: его масса и пружина без массы. При таком представлении исходная конструкция образует цепочку: корпус + пружина_динамометра + масса_динамометра + тянущая_сила, и динамометр измеряет силу между массой корпуса и массой динамометра. По вашей формуле получается цепочка: корпус + масса_динамометра + пружина_динамометра + тянущая_сила. Как динамометр в таком месте может показать что-то кроме силы натяжения?

[zvm]

Skeptic в сообщении #938762 писал(а):

Общеизвестно, что динамометр показывает полусумму действующих на него сил независимо от конструкции.

Правда? Как-то этот общеизвестный факт мимо меня прошел. Только решая эту задачу я этот результат получил (в первом приближении). А можно ссылочку? А будет так с конической пружиной?

[dovlato]

Skeptic: я вас, возможно, удивлю: в общем случае динамометр, строго говоря, вообще измеряет не силу.
Ибо непосредственному измерению в нём доступна только длина пружины.
Другое дело, что в обычном режиме (при неподвижном корпусе) сила и длина связаны линейно (в рамках модели).
Однако если корпус не есть инерциальная система, сила натяжения в каждой точке пружины монотонно меняется.

[Skeptic]

dovlato, не уводите разговор в сторону.
Вернитесь к своим выкладкам и скажите, как что за сила 2н?

-- 01.12.2014, 18:25 --

zvm в сообщении #938774 писал(а):

Skeptic в сообщении #938762 писал(а):

Общеизвестно, что динамометр показывает полусумму действующих на него сил независимо от конструкции.

Правда? Как-то этот общеизвестный факт мимо меня прошел. Только решая эту задачу я этот результат получил (в первом приближении). А можно ссылочку? А будет так с конической пружиной?

В окончательном выводе нет даже намёка на устройство динамометра. dovlato это убедительно показал.

[dovlato]

Я не думал, что это ещё не выяснено. Сила 2Н - это сила натяжения пружины в точке её крепления к корпусу;
сила 4Н - сила, действующая на неё справа, где крючок.

[Munin]

Батороев в сообщении #938646 писал(а):

А у меня "дурацкий вопрос": Может ли динамометр показывать значение силы, отличное от величины приложенной?

Именно этот случай тут и имеет место.

-- 01.12.2014 23:16:39 --

Skeptic в сообщении #938781 писал(а):

В окончательном выводе нет даже намёка на устройство динамометра. dovlato это убедительно показал.

Как раз есть, и как раз dovlato это убедительно показал. Ваше заявление:

Skeptic в сообщении #938762 писал(а):

Общеизвестно, что динамометр показывает полусумму действующих на него сил независимо от конструкции.

- чушь, или хотя бы ссылки на стол.

[dovlato]

Кстати, формулу $f=\frac{f_1+f_2}{2}$ можно получить и из более общих соображений.
1.По-видимому, ничего более разумного, чем линейная зависимость $f=af_1+bf_2$, тут не предложишь.
2. Т.к. расслабленная пружина однородна, то очевидно, что если её перевернуть на 180 градусов, её длина не изменится.
Это означает, что $b=a$, следовательно, $f=a(f_1+f_2)$.
3. В обычном режиме работы, когда $f_1=f_2$, как известно, показания прибора $f=f_1$.
Откуда получаем $a=1/2$, т.е. ту самую формулу.

[Toucan]

hurtsy в сообщении #938749 писал(а):

Есть в этой чудной задаче еще тайна, отбивающая всякое желание участвовать в её решении, несмотря на сладкозвучные разъяснения "птички Эдгара По".
...

hurtsy, замечание за бессодержательное сообщение.

[hurtsy]

dovlato в сообщении #938959 писал(а):

Откуда получаем $a=1/2$, т.е. ту самую формулу.

Можно получить это школьным методом. Мы в школе на лабораторных строили шкалы для динамометров. Вешали нагрузки с известным точным весом, отмечали эти точки, а промежутки заполняли линейно. Теперь рассмотрим силы действующие на пружину. С одной стороны заданный груз, с другой точно такая же сила в точке закрепления. На шкале отметка f, а на пружину действует сумма 2f. Вот и в олимпиадной задаче на пружину действует сумма 2+4 а на шкале динамометра 3. Вот и все, не надо интегрировать, не надо совершать никаких мысленных разбиений пружины и предельных переходов.
Кстати в мое время в школе не было начал математического анализа. А вот как работает пружина пришлось задуматься только сейчас, и не из-за стремления к глубокомыслию(копирайт Munin) и любви пыжиться(тот же копирайт) и даже не из-за хамства не буду говорить кого. Ни в школе, ни даже в университете особенно задумываться не требовалось, всегда было понятно что нужно преподавателю. С уважением,

[dovlato]

Матанализ - это жемчужина. Может всё.. Вот ежли, например, пружина неоднородная, то без него почти ничего не сделаешь.
Кстати, я сейчас сам себя озадачил. Может, кто чего скажет. Значит, пусть на концы пружины действуют две ОДИНАКОВЫЕ по
величине и направлению силы. Что будет с пружиной?

[Skeptic]

dovlato в сообщении #938794 писал(а):

Я не думал, что это ещё не выяснено. Сила 2Н - это сила натяжения пружины в точке её крепления к корпусу;
сила 4Н - сила, действующая на неё справа, где крючок.

Ключевой момент, какие силы действуют? С силой слева разобрались. Справа от пружины находится масса динамометра, на её движение затрачивается сила. Как это учитывается при определении правой натягивающей силы?

[Батороев]

zvm в сообщении #938685 писал(а):

(Оффтоп)

Конечно. А что прикажете ему делать, если с разрых сторон к его пружине приложены разные силы? Естественно, динамометр будет двигаться с ускорением, а масса пружины не может считаться нулевой.

(Оффтоп)

Мои сомнения заключаются в следующем:
При вертикальном положении динамометр показывает нулевое значение (так он оттарирован, т.е. как бы воздействия от массы корпуса и пружины не учитываются). Теперь, если подвесить груз $4$ Н, то динамометр тоже покажет $4$ Н. То же самое будет наблюдаться, если двигаться с ускорением $g$ в зоне, где отсутствуют силы тяготения или условно - при движении перпендикулярно этим силам.
Так вот, возникает вопрос: Есть ли какая-то разница, приложить ли силу $4$ Н к корпусу динамометра или к пружине, если их массы равны?

-- 02 дек 2014 14:34 --

Прокол моих рассуждений может заключаться в том, что динамометр оттарирован на Земле, т.е. подобрана определенная жесткость пружины. Но есть одно НО... Может быть, ключевым здесь является постоянство ускорения?!