комбинации на доске

[nyashmyash]

Совсем не понимаю, как такое решать - изрисовал 10 страниц и не нахожу закономерности. Помогите, пожалуйста, с решением или дайте ссылку на литературу, где рассказывается как такое решать:

Сколько имеется способов разложить 15 одинаковых камней по клеткам квадрата 9х9 так, чтобы конфигурация камней не была бы симметричной относительно центральной клетки квадрата? В каждую клетку можно положить не более одного камня.

Слишком много случаев, а еще принципиальное отличие когда камень находится внутри центральной клетки, какая тут может быть формула?

[iifat]

Имеется в виду центральная симметрия, сиречь поворот на $180^\circ$?
Попробуйте рассматривать пары симметричных ячеек.

[nyashmyash]

iifat в сообщении #938624 писал(а):

Имеется в виду центральная симметрия, сиречь поворот на $180\circ$?
Попробуйте рассматривать пары симметричных ячеек.

на википедии пишут, что у квадрата 8 симметрий.
Значит надо число сочетаний из 81 по 15 поделить на 8?

[grizzly]

nyashmyash в сообщении #938626 писал(а):

Значит надо число сочетаний из 81 по 15 поделить на 8?

Не нужно просто так делить одни числа на другие, даже если о чём-то пишут в Википедии.

А вот задача попроще: сколько всего можно разложить симметричных конфигураций?

Если сложно, тогда вот ещё проще: есть 2 камня; сколько всего можно разложить симметричных конфигураций?

[iifat]

nyashmyash в сообщении #938626 писал(а):

у квадрата 8 симметрий

Как понимаю, четыре поворота на 0, 90, 180, 270 градусов плюс 4 осевых симметрии. Однако названия «симметрии относительно центральной точки» заслуживает ровно одна из них — поворот на 180. Задачу уточните, плз: одна симметрия или все восемь? Вторая, разумеется, сложнее.

[grizzly]

[удалено]
Предлагаю не путать товарища спрашивающего, ему, может, и так сложно. Очевидно, что речь идёт о центральной симметрии и нужно ему всего-то придумать простую идею, как посчитать симметричные конфигурации для двух камней. Остальное сразу станет понятно.

[nyashmyash]

iifat в сообщении #938707 писал(а):

nyashmyash в сообщении #938626 писал(а):

у квадрата 8 симметрий

Как понимаю, четыре поворота на 0, 90, 180, 270 градусов плюс 4 осевых симметрии. Однако названия «симметрии относительно центральной точки» заслуживает ровно одна из них — поворот на 180. Задачу уточните, плз: одна симметрия или все восемь? Вторая, разумеется, сложнее.

Я сам не знаю, что подразумевалось в условии, а спросить автора возможности нет - наверное догадаться до того, что такое симметрия относительно центральной клетки - это часть задачи.

grizzly в сообщении #938638 писал(а):

Если сложно, тогда вот ещё проще: есть 2 камня; сколько всего можно разложить симметричных конфигураций?

nyashmyash в сообщении #938626 писал(а):

Значит надо число сочетаний из 81 по 15 поделить на 8?

Не нужно просто так делить одни числа на другие, даже если о чём-то пишут в Википедии.

А вот задача попроще: сколько всего можно разложить симметричных конфигураций?

Если сложно, тогда вот ещё проще: есть 2 камня; сколько всего можно разложить симметричных конфигураций?

Извините, просто я не очень силен в комбинаторике и вот как раз пытаюсь это исправить.
Насчет второй задачи, то там снова надо осознать что такое симметрия, но в моем понимании там 2 принципиально разных случая. Первый - если лежат в одном квадранте (то есть квадрате 4х4 вместе с угловой клеткой) или на разных осях, тогда как оси - это система координат с центром в центре центральной клетки. Второй случай - все остальное. В первом случае 4 конфигурации можно получить симметриями, а во втором - 2. Как-то все очень несвязно, но не знаю пока как лучше придумть. Наверное и впрямь надо с терминологией разобраться.

-- 01.12.2014, 12:50 --

[quote="grizzly в сообщении #938711"][удалено]
ему, может, и так сложно./quote]
Есть такое, у меня в школе совсем-совсем примитивная математика, поэтому сейчас сам учусь решать олимпиадные задачи. А к какой теме относится моя?

[grizzly]

Это комбинаторика, конечно.

Освободите оперативную память и начните задачу с нуля.
1) Остановимся пока на задаче с двумя камнями. Вам понятно, что "Количество несимметричных конфигураций" равно "Количество всех конфигураций" минус "Количество симметричных"?
2) Посмотрите в Вики, что есть "центральная симметрия". Или поищите в сети что-то попроще, чтобы вспомнить, как это изучали в школе. Не думайте про другие виды симметрии -- здесь нужна только эта.

Теперь нужно думать, сколько будет симметричных конфигураций из двух камней на вашей доске. Тут или сможете, или нет -- подробнее это объяснять вредно.

[nyashmyash]

Ну я долго думал, вроде дошло, уточню что в итоге симметриями считаю две осевые и одну центрально-симметричную, надеюсь что это правильный подход в этой задаче. Проверьте, пожалуйста, ответ:



$C_{81}^2 $ $ - 16 \cdot 3 - 2 \cdot 8 \cdot 0.5$

первое слагаемое - число сочетаний из 81 по 2, не знаю как написать "це из n по k" при двузначном n и чтобы правильно, не подскажите как?

[grizzly]

Пока только подскажу. Наведите курсор на формулу $C_{81}^2$.

[nyashmyash]

grizzly в сообщении #938967 писал(а):

Пока только подскажу. Наведите курсор на формулу $C_{81}^2$.

Спасибо!

Судя по всему, ответ неправильный. У меня еще была идея рассматривать клетку как к упорядоченную двойку $(x, y)$, а симметрии воспринимать как умножение координат на $(-1)$, но тогда теряется наглядность.
А как Вы думаете, чтобы решить эту задачу нужно знать что-нибудь помимо чисел сочетаний и определения симметрии?

[grizzly]

Ответ уже близок к цели, но нет. Может быть, из-за каких-то лишних симметрий -- здесь я Вашу логику понять не могу.

По условию задачи есть только центральная симметрия. Никаких осевых нет.

Но давайте двигаться шаг за шагом.

Теперь учитесь делать сами первичную проверку решения. Возьмите доску $3\times 3$ и те же 2 камня. Посчитайте конфигурации по Вашим формулам и просто руками. Сравните полученные ответы. Если не сошлось, ищите ошибку. На доске $3\times 3$ Вы наверняка должны понять, что не так.

-- 02.12.2014, 01:24 --

nyashmyash в сообщении #938975 писал(а):

А как Вы думаете, чтобы решить эту задачу нужно знать что-нибудь помимо чисел сочетаний и определения симметрии?

Нет, этого достаточно. (Ну ещё умение читать, таблицы сложения, умножения и много чего другого, что обычно считается само собой разумеющимся :)

[nyashmyash]

Хочу уточнить кое-что насчет осевых симметрий, вот есть квадрат 3х3, допустим закрашены левая нижняя и левая верхняя клетка, правильная ли это раскраска? Если провести через центральную клетку прямые параллельные сторонам, то при такой раскраски они будут симметричны относительно этой прямой. Или это не центральная симметрия?

[grizzly]

Я мог бы подвести какое-то оправдание под Ваш ответ, если бы второе слагаемое было $16 \cdot 2$. А так у меня никаких идей (это тоже непростая задача -- понять, что имелось в виду в ошибочном решении :)

-- 02.12.2014, 01:39 --

nyashmyash в сообщении #938986 писал(а):

Хочу уточнить кое-что насчет осевых симметрий, вот есть квадрат 3х3, допустим закрашены левая нижняя и левая верхняя клетка, правильная ли это раскраска? Если провести через центральную клетку прямые параллельные сторонам, то при такой раскраски они будут симметричны относительно этой прямой. Или это не центральная симметрия?

Нет. Это не центрально симметричная картинка. Это осевая симметрия относительно горизонтальной оси. Она нам не нужна.

[nyashmyash]

grizzly в сообщении #938990 писал(а):

Я мог бы подвести какое-то оправдание под Ваш ответ, если бы второе слагаемое было $16 \cdot 2$. А так у меня никаких идей (это тоже непростая задача -- понять, что имелось в виду в ошибочном решении :)

-- 02.12.2014, 01:39 --

nyashmyash в сообщении #938986 писал(а):

Хочу уточнить кое-что насчет осевых симметрий, вот есть квадрат 3х3, допустим закрашены левая нижняя и левая верхняя клетка, правильная ли это раскраска? Если провести через центральную клетку прямые параллельные сторонам, то при такой раскраски они будут симметричны относительно этой прямой. Или это не центральная симметрия?

Нет. Это не центрально симметричная картинка. Это осевая симметрия относительно горизонтальной оси. Она нам не нужна.

16 умножалось на 3 из следующих соображений - есть угловой квадрат 4х4, выбираем в нем одну клетку, а потом из других таких квадратов выбираем как бы соответствующую ему при некоторой симметрии, но теперь когда стало ясно что центральная симметрия это не совсем то, что я понимал, то это неактуально.

В случае 3х3 4 плохим раскраски, а всего 36, а это значит что ответ 32. Но я пока не знаю какое теоретическое рассуждение подогнать под этот ответ