Доказать комбинаторное равенство

[MrDindows]

Помогите пожалуйста доказать комбинаторное равенство:
$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}{(-1)^i\binom{n}{k-i}\binom{n}{i}} = (-1)^k\binom{n}{\frac{k}{2}}$, где $k$ - чётное натуральное.

[nnosipov]

Зачем же самому стараться? Алгоритм вычисления подобных комбинаторных сумм известен. Просто сошлитесь на Maple, например.

[maxal]

MrDindows в сообщении #938415 писал(а):

Помогите пожалуйста доказать комбинаторное равенство:
$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}{(-1)^i\binom{n}{k-i}\binom{n}{i}} = (-1)^k\binom{n}{\frac{k}{2}}$, где $k$ - чётное натуральное.

Левая часть - это коэфициент при $x^k$ в разложении $(1+x)^n\cdot (1-x)^n$, а правая часть - это коэффициент при $x^k$ в $(1-x^2)^n$. Нетрудно видеть, что $(1+x)^n\cdot (1-x)^n = (1-x^2)^n$.