Решение уравнения n-ой степени. Общий метод

[AlexSam]

Решал уравнение n-ой степени. Нашел интересный вариант. Результаты проверил до $n=5$.
Интересует мнение математиков. Может ли это быть?

$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$

Построим последовательности:
$F_{1}(i)=k_{11}F_{1}(i-1)+k_{12}F_{2}(i-1)+k_{13}F_{3}(i-1)+...+k_{1n}F_{n}(i-1)$
$F_{2}(i)=k_{21}F_{1}(i-1)+k_{22}F_{2}(i-1)+k_{23}F_{3}(i-1)+...+k_{2n}F_{n}(i-1)$
..........................................................................................
$F_{n}(i)=k_{n1}F_{1}(i-1)+k_{n2}F_{2}(i-1)+k_{n3}F_{3}(i-1)+...+k_{nn}F_{n}(i-1)$

Коэффициенты $k$ найдем по уравнениям:
$k_{21}=k_{31}=...=k_{n1}= a_{0}$
$k_{1n}=k_{2n}=...=k_{n(n-1)}= -a_{n}$
$k_{22}-k_{11}=k_{32}-k_{21}=...=k_{n2}-k_{(n-1)1}= a_{1}$
$k_{23}-k_{12}=k_{33}-k_{22}=...=k_{n3}-k_{(n-1)2}= a_{2}$
..........................................................................................
$k_{2n}-k_{1(n-1)}=k_{3n}-k_{2(n-1)}=...=k_{nn}-k_{(n-1)(n-1)}= a_{n-1}$

Если $i$ стремиться к бесконечности, то $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ и будет корнем уравнения.

Здесь описан частный случай (все корни вещественные числа). Если уравнение имеет
комплексные корни, то соотношение $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ может не сходиться.

Пример 1: $x^2+x-1=0$

$a_{0}=1, a_{1}=1, a_{2}=-1$
Найдем коэффициенты $k$
$k_{11}=1, k_{12}=1, k_{21}=1, k_{22}=2$

$F_{1}(1)=k_{11}F_{1}(0)+k_{12}F_{2}(0)=1\cdot1+1\cdot1=2$
$F_{2}(1)=k_{21}F_{1}(0)+k_{22}F_{2}(0)=1\cdot1+2\cdot1=3$

$F_{1}(2)=k_{11}F_{1}(1)+k_{12}F_{2}(1)=1\cdot2+1\cdot13=5$
$F_{2}(2)=k_{21}F_{1}(1)+k_{22}F_{2}(1)=1\cdot2+2\cdot13=8$

$F_{1}(3)=k_{11}F_{1}(2)+k_{12}F_{2}(2)=1\cdot5+1\cdot8=13$
$F_{2}(3)=k_{21}F_{1}(2)+k_{22}F_{2}(2)=1\cdot5+2\cdot8=21$

$F_{1}(4)=k_{11}F_{1}(3)+k_{12}F_{2}(3)=1\cdot13+1\cdot21=34$
$F_{2}(4)=k_{21}F_{1}(3)+k_{22}F_{2}(3)=1\cdot13+2\cdot21=55$

и т. д. Обратим внимание, что образуется ряд Фибоначчи (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55....) на бесконечности которого будем иметь соотношение $F_{1}(i)/F_{2}(i)$ равное 0.618. Это и будет одним из решений уравнения.

Для поиска второго решения нам нужно изменить коэффициенты
$k_{11}=-2, k_{12}=1, k_{21}=1, k_{22}=-1$
Построив последовательность из этих коэффициентов получим второй корень: -1.618.

Всегда имеется бесконечное число наборов коэффициентов для решения уравнения.
Коэффициенты
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -17 & 41 \\ 41 & 24 \end{array} \right)$
также дают корень 0.618
Коэффициенты
$\left( \begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -1.5 & 0.5 \\ 0.5 & -1 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} -24 & 41 \\ 41 & 17 \end{array} \right)$
дают корень -1.618

Пример 2: $x^{3}+2x^{2}-x-1=0$

Коэффициенты ($k$) решения выглядят:
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -2 & -3 & 5 \end{array} \right)$
дает корень -0.5550

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right)$
дает корень 0.8019

$\left( \begin{array}{ccc} -3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right)$
дает корень -2.2470

Пример 3: $2x^{5}+2x^{4}+x^{3}+x^{2}+2x-1=0$

Коэффициенты
$\left( \begin{array}{ccccc} 14 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 16 & -2 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 17 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 18 & 1 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 20 \end{array} \right)$
Дадут единственный вещественный корень 0.3756

P.S. Если допустил какие-то ошибки (некорректности) в формулировках или раньше
кто-то подобное уже делал - сильно не ругайте:
я не имею классического математического образования.
PPS Все что в скобках - это не матрицы. Это просто набор коэффициентов для решения последовательности

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Оформите все формулы.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".
2. Сообщите общественности, что Вы делаете. Решаете уравнение, ищете одно из решений или? Необходима полная и четкая постановка задачи.
3. Приведите все необходимые определения, например, что такое "матрица-решение" в Вашей терминологии. Особенно интересно, что такое "матрица-решение для $x=\ldots$.
4.

AlexSam в сообщении #898992 писал(а):

При бесконечности: $x = y_{1}/y_{2}=y_{2}/y_{3}=...=y_{n-1}/y_{n}$

Что значит в этом контексте "при бесконечности"?
5. Не надо называть линейным уравнение, которое им не является.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[AlexSam]

Рассмотрю подробнее пример решения кубического уравнения:
$x^{3}+2x^{2}-x-1=0$

$a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$

$a_{0}=1, a_{1}=2, a_{2}=-1, a_{3}=-1$,
$k_{21}=k_{31}=a_{0}=1$,
$k_{13}=k_{23}=k_{33}=-a_{3}=-(-1)$, $k_{33}-k_{22}=a_{2}=-1$
$k_{22}=2$, $k_{22}-k_{11}=a_{1}=2$, $k_{11}=0$,
$k_{32}-k_{21}=a_{1}=2$,
$k_{23}-k_{12}=a_{2}=-1$, $k_{12}=2$

Получили набор коэффициентов ($k$): $\left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{array} \right)$

Пусть $F_{1}(0)=1$, $F_{2}(0)=1$, $F_{3}(0)=1$,
решим последовательность:
$F_{1}(1)=0\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=3$,
$F_{2}(1)=1\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=4$,
$F_{3}(1)=1\cdot1+3\cdot1+1\cdot1=5$

$F_{1}(2)=0\cdot3+2\cdot4+1\cdot5=13$,
$F_{2}(2)=1\cdot3+2\cdot4+1\cdot5=16$,
$F_{3}(2)=1\cdot3+3\cdot4+1\cdot5=20$

$F_{1}(3)=0\cdot13+2\cdot16+1\cdot20=52$,
$F_{2}(3)=1\cdot13+2\cdot16+1\cdot20=65$,
$F_{3}(3)=1\cdot13+3\cdot16+1\cdot20=81$

$F_{1}(4)=0\cdot52+2\cdot65+1\cdot81=211$,
$F_{2}(4)=1\cdot52+2\cdot65+1\cdot81=263$,
$F_{3}(4)=1\cdot52+3\cdot65+1\cdot81=328$

$F_{1}(5)=0\cdot211+2\cdot263+1\cdot328=854$,
$F_{2}(5)=1\cdot211+2\cdot263+1\cdot328=1065$,
$F_{3}(5)=1\cdot211+3\cdot263+1\cdot328=1328$

$F_{1}(5)/F_{2}(5)= 0.801878$
0.801878 - это корень уравнения
При большем кол-ве шагов точность увеличиться.

ссылки на программы для нахождения решений:
http://filetonet.com/AAAba66b74e9ce774b ... 3b74d4a74d
http://filetonet.com/AAAda06ba3774f7564 ... 99022703e1
http://filetonet.com/AAA647afdbfeac58b2 ... 6eeb8f5095
программы написаны на mql4

[Pphantom]

По описанию это крайне сильно напоминает метод Бернулли (и, кажется, действительно сводится к нему при некотором упрощении описания).

[AlexSam]

Да, очень похоже, но метод Бернулли, кажется, находит одно решение. Здесь же можно найти все решения из одного уравнения

[Pphantom]

AlexSam в сообщении #899216 писал(а):

Да, очень похоже, но метод Бернулли, кажется, находит одно решение. Здесь же можно найти все решения из одного уравнения

Хорошо, комбинация многократного последовательного применения метода Бернулли и схемы Горнера.

Кстати, это легко если и не проверить, то опровергнуть. Попробуйте решить этим методом какое-либо биквадратное уравнение.

[AlexSam]

А можно оценить точность схемы Горнера при степени 30?
Какую он выдаст ошибку на 10, на 20 корне?

[Pphantom]

AlexSam в сообщении #899247 писал(а):

А можно оценить точность схемы Горнера при степени 30?

Если известна точность вычислений, то можно. Но в подобных случаях разумнее работать с рациональными числами (примерно так действуют пакеты компьютерной алгебры).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

По просьбе ТС.

Возвращено.

[AlexSam]

Всем, здравствуйте!
Написал систему для решения в радикалах уравнения 5-й степени в общем виде.

$x^5-k_5x^4-k_4x^3-k_3x^2-k_2x-k_1=0$

$k_1={g}^{5}\,{m}^{4}-5\,a\,d\,{g}^{3}\,{m}^{3}-5\,b\,c\,{g}^{3}\,{m}^{3}+5\,b\,{d}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{3}+5\,{c}^{2}\,d\,{g}^{2}\,{m}^{3}-5\,c\,{d}^{3}\,g\,{m}^{3}+{d}^{5}\,{m}^{3}+5\,{a}^{2}\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,a\,{b}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,{a}^{2}\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}-5\,a\,b\,c\,d\,g\,{m}^{2}-5\,{b}^{3}\,d\,g\,{m}^{2}-5\,a\,{c}^{3}\,g\,{m}^{2}+5\,{b}^{2}\,{c}^{2}\,g\,{m}^{2}-5\,a\,b\,{d}^{3}\,{m}^{2}+5\,a\,{c}^{2}\,{d}^{2}\,{m}^{2}+5\,{b}^{2}\,c\,{d}^{2}\,{m}^{2}-5\,b\,{c}^{3}\,d\,{m}^{2}+{c}^{5}\,{m}^{2}-5\,{a}^{3}\,b\,g\,m-5\,{a}^{3}\,c\,d\,m+5\,{a}^{2}\,{b}^{2}\,d\,m+5\,{a}^{2}\,b\,{c}^{2}\,m-5\,a\,{b}^{3}\,c\,m+{b}^{5}\,m+{a}^{5}$

$k_2=5\,d\,{g}^{3}\,{m}^{3}-10\,a\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}-5\,{b}^{2}\,{g}^{2}\,{m}^{2}-10\,a\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}+5\,b\,c\,d\,g\,{m}^{2}+5\,{c}^{3}\,g\,{m}^{2}+5\,b\,{d}^{3}\,{m}^{2}-5\,{c}^{2}\,{d}^{2}\,{m}^{2}+15\,{a}^{2}\,b\,g\,m+15\,{a}^{2}\,c\,d\,m-10\,a\,{b}^{2}\,d\,m-10\,a\,b\,{c}^{2}\,m+5\,{b}^{3}\,c\,m-5\,{a}^{4}$

$k_3=5\,c\,{g}^{2}\,{m}^{2}+5\,{d}^{2}\,g\,{m}^{2}-15\,a\,b\,g\,m-15\,a\,c\,d\,m+5\,{b}^{2}\,d\,m+5\,b\,{c}^{2}\,m+10\,{a}^{3}$

$k_4=5\,b\,g\,m+5\,c\,d\,m-10\,{a}^{2}$

$k_5=5\,a$

решение уравнения запишется как: $a+bm^{1/5}+cm^{2/5}+dm^{3/5}+gm^{4/5}$

Может кто-нибудь попытается решить это?
Понимаю, что прошу о невозможном, но может быть интересные частные
решения возникнут?

Система для 3-й и 4-й степени решена.

[iifat]

AlexSam в сообщении #899216 писал(а):

можно найти все решения

Не нашёл. Везде только один корень.
Вообще, пока не осилил, но такое чувство, что используется связь многочленов с рекуррентными последовательностями. Действительно, при этом $f_n=C_1r_1^n+\cdots$ и в случае действительного максимального по модулю корня отношение $\frac{f_{n+1}}{f_n}$ стремится к нему.
Встречал метод нахождения максимального по модулю корня переходом от корней к их квадратам, четвёртым и т.д. степеням. Описывались модификации для кратного максимального по модулю, для пары максимальных по модулю сопряжённых комплексных корней и т.д. Подозреваю, примерно то же самое, только несколько быстрее. Ссылку не дам, чёл очень давно и в бумаге.

-- 22.11.2014, 19:25 --

Ах да, книга, по-моему, называлась «Вычислительные методы».

[Евгений Машеров]

Это не метод Греффе-Лобачевского?
http://www.dpva.info/Guide/GuideMathema ... ximations/

[iifat]

Евгений Машеров в сообщении #935043 писал(а):

метод Греффе-Лобачевского

Точно, он. Спасибо. Только (на всякий случай) там опечатка — вместо $z^{2^j}$ везде $z^{2j}$

[Евгений Машеров]

К сожалению, это частая ошибка при переносе текста в HTML. Теряются степени, и вместо $10^{19}$ вдруг появляется 1019 и т.п.