Равномерная сходимость по определению

[Jiggy]

Необходимо исследовать интеграл $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p+1}} \cdot \cos(\frac{1}{x^p}) dx $ на равномерную сходимость на 2 промежутках параметра p:
$(0; \infty) $
$[a; \infty] $

Интеграл нужно исследовать через определение
Собственно по 2 случаю проблем нет. Через определение там ограничение сверху я получил, а вот с первым случаем ограничение сверху не получается, значит нужно видимо граничить снизу, а вот с этим проблемы. Что скажете?
Вот мои начинания:
$|\int\limits_{A}^{\infty} \frac{\cos(1/x^p)}{x^{p+1}}| = |\int\limits_{A}^{\infty} (-1/p)\cdot \cos(1/x^p) d(1/x^p)| = 1/p \cdot |\sin(1/(\infty)^p) - \sin(1/(A)^p)| $
Во втором случае все хорошо. Ограничение будет такое:
$1/p \cdot |0 - \sin(1/A^p)| \leqslant 1/a \cdot |\sin(1/a^p)| < \varepsilon$
То есть при любом $\varepsilon$ мы можем взять такое $\Delta(\varepsilon)$, что для любого
$A >\Delta $ $\Rightarrow$ $\int\limits_{A}^{\infty} \frac{1}{x^{p+1}} \cdot \cos(\frac{1}{x^p}) dx < \varepsilon $. То есть равномерная сходимость есть.

А вот в 1 случае так не пройдет. Скорее всего надо снизу оценить.
При оценке снизу я дошел до того, что нужно оценить снизу $\frac{|\sin(\frac{1}{a^p})|}{p}$.
$|\int\limits_{A}^{\infty} \frac{1}{x^{p+1}} \cdot \cos(\frac{1}{x^p}) dx| = 1/p \cdot |\sin(1/(\infty)^p) - \sin(1/(A)^p)| \geqslant 1/p \cdot |\sin(1/a^p)| $
А вот дальше застрял.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: возвращено

[Jiggy]

Deggial в сообщении #932755 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: возвращено

Народ!)

[provincialka]

Jiggy в сообщении #932908 писал(а):

Народ!)

А сам-то, сам?

Jiggy в сообщении #932048 писал(а):

Попался мне несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{ \sin(x^3)}{(\ln(x))^p} dx $

provincialka в сообщении #932055 писал(а):

наверное, лучше сделать замену $x^3=t$

Попробуйте аналогично, может, что прояснится.

[Jiggy]

provincialka в сообщении #932913 писал(а):

Jiggy в сообщении #932908 писал(а):

Народ!)

А сам-то, сам?

Jiggy в сообщении #932048 писал(а):

Попался мне несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{ \sin(x^3)}{(\ln(x))^p} dx $

provincialka в сообщении #932055 писал(а):

наверное, лучше сделать замену $x^3=t$

Попробуйте аналогично, может, что прояснится.

Хорошо)

[Deggial]

Jiggy в сообщении #932908 писал(а):

Народ!)

Jiggy, замечание за бессодержательное сообщение и избыточное цитирование.

[provincialka]

Jiggy, не-а, вы это уже сделали. я просто не вчитывалась.

-- 18.11.2014, 18:00 --

Оценивать надо, конечно, снизу. Только откуда у вас там появилось $a$ - в п. 1 его нет.

По сути, значение остатка интеграла равно $\dfrac{\sin(b^p)}{p}$, где $b=1/A>0$ - достаточно малое число. Что вам надо доказать про этот остаток?

[Jiggy]

Там A большое)

-- 18.11.2014, 04:08 --

Я уже доделал сам. Вопрос закрыт.