Линейная гауссовская модель, задача с измерением углов.

[q271828]

В четырехугольнике $ABCD$ было произведено 8 независимых измерений углов $ABD, DBC, ABC, BCD, CDB, BDA, CDA, DAB$. Считая, что ошибки измерений распределены по $N(0, \sigma^2)$ найти оптимальные оценки углов $ABD, DBC, CDB, BDA$ и неизвестный параметр $\sigma^2$.

Как я понял - решаем через линейную гауссовскую модель. Пишем $X$ = $\varepsilon$ + $l$, где $\varepsilon$ распределен по $N(0, I_n \cdo \sigma^2)$, а $l$ - вектор размерности n.
Я так понял - наши случайные вектора - 4х мерные. Первое измерение - ($ABD, ABC, CDB, CDA$) второе - ($DBC, BCD, BDA, DAB$). Первое что мне надо - перевести эти измерения в вид независимых измерений требуемых углов. Как это сделать? Ведь у нас получаются в первом измерении зависимые углы.

[Евгений Машеров]

Нормальное распределение - наименьшие квадраты. Минимизируем сумму квадратов отклонений измеренных углов от оцениваемых при условии равенства суммы углов четырёхугольника 360 градусам.

[q271828]

А как оценить эти углы независимо, если у нас в распределении они выражаются через некоторые измерения?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

q271828
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

Измерения - независимы. Оценки будут зависимы.

[q271828]

Измерения то независимы, но вот, скажем, оценки для одного и того же угла $ABD$ в первом моем измерении сразу дается, а во втором - выражается через 2 других. Что делать в этом случае?

-- 15.11.2014, 11:18 --

Хорошо, можно ли представить эти 2 измерения как
$(ABD, ABC-ABD, CDB, CDA-CDB)$ и $ (\pi-BDA-DAB, DBC, \pi-BCD-DBC , BDA)$
И можно ли тут сразу применять метод наименьших квадратов?

[Евгений Машеров]

Нет. Так нельзя. Они перестанут быть независимыми.
Надо минимизировать сумму квадратов при ограничении. Можно Лагранжем, а можно воспользоваться тем, что ограничение очень простое, выразить один из неизвестных параметров через прочие, и минимизировать просто сумму квадратов отклонений.