Функциональные поля и АГ-коды

[Nurzery[Rhymes]]

Моя тема курсовой - исследование функциональных полей. Мне предложили работать по книжке Henning Stichtenoth - Algebraic function fields, но уже из первого определения я понял, что без помощи я во всем этом не разберусь, хотя и смогу что-нибудь написать.

Само определение:
Definition 1.1.1. An algebraic function field $F/K$ of one variable over $K$ is an extension field $F \supseteq K$ such that $F$ is a finite algebraic extension of $K(x)$ for some element $x \in F$ which is transcendental over $K$.

Как я должен представлять себе это поле? Мне сказали, что оно строится в два этапа:
1) Первое расширение чисто трансцендентное, получается из $K$ присоединением некоего трансцендентного над $K$ элемента $x$;
2)второе расширение конечное алгебраическое, т.е. получается из поля $K(x)$ присоединением к $K(x)$ корня некоего неприводимого многочлена над этим полем.

И сразу вопросы:
1) Что значит "построить расширение поля присоединением к нему некоего элемента"? Просто взяли этот воображаемый элемент и закинули его в исходное множество, а потом сказали, что это такое расширение? Или в этом какой-то глубокий смысл?

2) Мы присоединяем трансцендентный над $K$ элемент. То есть нет ни одного многочлена с коэффициентами из $K$, для которого этот элемент был бы корнем. Тогда откуда мы взяли этот элемент?

Вспомним, как мы строили конечные поля как расширение данного поля $F_p$. У нас есть некоторый многочлен, неприводимый над $F_p$, и возводя в степени его корень, мы получаем $F_q$ - расширение поля $F_p$. Аналогичные утверждения: мы построили расширение поля, присоединив к нему корень неприводимого над $F_p$ многочлена; мы факторизовали множество всех многочленов по данному неприводимому многочлену; расширение $F_q$ - это множество корней многочлена $X^q - X$ над $F_p$.

А чем отличается построение этих наших двух полей от такого построения поля?

3) Что значит запись $K(x)$? Она чем-то отличается от обозначения множества всех многочленов $K[x]$ от одной переменной $x$?

4) Как выглядят элементы поля алгебраических функций? Где-то я читал, что это поле состоит из дробей вида $f(x)/g(x)$, где $f$ и $g$ - многочлены, коэффициенты которых тоже являются многочленами.

Объясните максимально просто, как строится это поле и что оно вообще из себя представляет.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nurzery[Rhymes]]

Бамп годному треду

[Deggial]

Nurzery[Rhymes], замечание за подъем темы бессодержательным сообщением

[Xaositect]

Разберитесь сначала в базовой алгебре, а потом приступайте к функциональны полям. Почитайте, например, в Ленге релевантные главы. Или ван дер Вардена.

Вкратце по поводу расширений. Вот есть у нас какое-то поле $K$, произвольное. И мы хотим в него добавить еще один элемент $x$.
Мы можем его хотеть добавить так, чтобы он был алгебраическим, то есть корнем какого-то уравнения, например, в $\mathbb{Q}$ добавить $\sqrt[3]{2}$. Понятно, что в этом случае добавится не только сам этот элемент, но и то, что получается из старых элементов и нового сложением и умножением. Например, в случае с $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ добавятся элементы вида $a + b \sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}$. Это называется простое алгебраическое расширение. Надо заметить, что для такого добавления нам не обязательно знать, что корень нашего уравнения где-то уже есть, мы можем просто взять и обращаться с ним чисто символически.

А в другом случае мы можем наоборот, хотеть, чтобы новый элемент вообще никак не был связан со старыми. Это значит, что как бы мы ни умножали $x$ на себя, никаких соотношений между его степенями не будет. То есть элементами нового поля будут любые степени $x^k$, потом сложением из них можно получить любые многочлены и делением любые отношения многочленов. Вот и получится у нас поле рациональных функций $K(x)$, состоящее из всех рациональных функций.

Ну а дальше мы добавляем еще один или несколько элементов, уже алгебраические над новым полем. Например, можно добавить $\sqrt{x+1}$. Или корень уравнения $u^5 + x^2u + x - 1 = 0$. И вот эти штуки называются полями алгебраических функций.

[Nurzery[Rhymes]]

А, то есть после добавления корня, к уже существующим элементам добавляются новые элементы, которые получаются из существующих как всевозможыне линейные комбинации с добавленным элементом?

Еще у меня в голове не укладывалось, как можно вообще добавить к полю корень неприводимого многочлена, ведь над данным полен многочлен не имеет корней, что мы собрались добавлять? Несуществующий элемент, о котором мы даже не знаем его значение? Как мы может оперировать тем, что не существует? Понимаю, что обычные числа тоже не существуют в мире, это абстракции, но корень неприводимого многочлена не существует даже в несуществующем мире...

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #927572 писал(а):

А, то есть после добавления корня, к уже существующим элементам добавляются новые элементы, которые получаются из существующих как всевозможыне линейные комбинации с добавленным элементом?

Не только линейные комбинации, в все дробно-рациональные комбинации с добавленным элементом --- иначе поля не получится.

-- Пт ноя 07, 2014 01:25:47 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #927572 писал(а):

Еще у меня в голове не укладывалось, как можно вообще добавить к полю корень неприводимого многочлена, ведь над данным полен многочлен не имеет корней, что мы собрались добавлять?

Про мнимую единицу слыхали? Её тоже не существует? С корнем неприводимого многочлена такая же история.

Вам действительно нужно повторить базовые вещи из теории расширений полей.

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

Про мнимую единицу слыхали? Её тоже не существует? С корнем неприводимого многочлена такая же история.

Мнимая единица всем известна, о поле С постоянно говорят на лекциях, поэтому комплексные числа кажутся чем-то естественным. Про построение поля С с помощью присоединения корня многочлена $x^2+1$ к полю R я знаю. Наверно, всё дело в моем отношении к непривычным полям разложения неприводимых многочленов. Стоит думать о них как о вполне нормальных алгебраических структурах типа поля С? Как поле комплексных чисел придумали по необходимости, так и конечные поля появляются для нужд криптографии?

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #927889 писал(а):

Стоит думать о них как о вполне нормальных алгебраических структурах типа поля С?

Да, безусловно.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #927889 писал(а):

Как поле комплексных чисел придумали по необходимости, так и конечные поля появляются для нужд криптографии?

Нет, сначала была задачи теории чисел, приложения к криптографии и теории кодирования появились позже.

[Nurzery[Rhymes]]

Xaositect в сообщении #927568 писал(а):

Разберитесь сначала в базовой алгебре, а потом приступайте к функциональны полям.

В чем он мне посоветовал разобраться? Из базовой алгебры у нас были векторные пространства, системы уравнений, линейные операторы, эвклидовы пространства, квадратичные формы и алгебраические структуры. Окай, я так понимаю, мне надо разобраться в векторных пространствах. Но в этом теме мало что связано с моим вопросом.

Разобраться в том, как порождается векторное пространство? Вижу аналогию между понятиями "векторного пространства, натянутого на векторы", "системой образующих линейной оболочки" и построением расширения поля. Все эти построения расширений полей - это частные случаи векторного пространства, натянутого на систему образующих? Тогда само расширение поля, которое можно рассматривать как векторное пространство, состоит из линейных комбинаций этих образующих с элементами поля, над которым строится расширение?

Мы начали рассматривать кольца многочленов от нескольких переменных, и в этой теме было про множества, порождающие кольцо, системы образующих и что-то еще, но я пока не вникал во все это...

[nnosipov]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #929801 писал(а):

Все эти построения расширений полей - это частные случаи векторного пространства, натянутого на систему образующих?

В общем, да, если говорить о так называемых конечных расширениях. Пусть $F$ --- расширение поля $P$. Полезно представлять $F$ как векторное пространство над полем $P$ (т.е. элементы $F$ --- это векторы, а элементы $P$ --- это скаляры). Если это пространство имеет конечный базис (конечномерно), то расширение называется конечным. Функциональные поля --- это конечные расширения поля рациональных функций $P(x)$.

[Nurzery[Rhymes]]

nnosipov в сообщении #929806 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #929801 писал(а):

Все эти построения расширений полей - это частные случаи векторного пространства, натянутого на систему образующих?

В общем, да, если говорить о так называемых конечных расширениях. Пусть $F$ --- расширение поля $P$. Полезно представлять $F$ как векторное пространство над полем $P$ (т.е. элементы $F$ --- это векторы, а элементы $P$ --- это скаляры). Если это пространство имеет конечный базис (конечномерно), то расширение называется конечным. Функциональные поля --- это конечные расширения поля рациональных функций $P(x)$.

А если мы строим еще одно расширение над $F$, которое в свою очередь является расширением $P$, как будет выглядеть полученное расширение? Ведь скалярами окажутся многочлены из поля $F$. Поле многочленов с коэффициентами-многочленами?