уравнения максвелла в различных исо

[volchenok]

Здравствуйте. Всем хорошо известны формулы для электромагнитных полей при переходе к различным ИСО. Возможно ли их получение без уравнений Максвелла. Я знаю два способа: из уравнений Максвелла при помощи формул СТО и при помощи тензора электромагнитного поля.

[Munin]

По определению, электрическое и магнитное поля - это поля, которые действуют на пробную частицу по закону силы Лоренца

$$\mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt=q\mathbf{E}+q[\mathbf{vB}].$$

Зная преобразования Лоренца для силы (из кинематики и механики), и зная, что $q$ есть 4-скаляр (из закона сохранения заряда), можно получить и законы для преобразования $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}.$

А вот способы, которые вы указали, - я их не знаю. И подозреваю, что по крайней мере один из них (при помощи тензора электромагнитного поля) - это не способ получения формул, потому что используется то, что им уже эквивалентно (указание, что величина, составленная определённым способом из компонент поля, есть 4-тензор).

[volchenok]

Пожалуйста, укажите ссылку на литературу, где можно почитать о таком выводе формул перехода для полей из формулы для силы Лоренца. Что касается предложенных мною способов, то они очень просты и давно известны. Первый самый простой: просто из уравнений Максвела, используя преобразования Лоренца для координат и времени, переходим к к координатам и времени другой СО и все. Второй способ заключается в выписывании тензора электромагнитного поля. С помощью негоуравнения Максвелла заописываются в ковариантной форме. Тут конечно к Вам вопрос: используются ли уравнения Максвелла, чтобы записать этот самый тензор. Вот. И когда мы записали этот тензор, далее из хорошо известных формул преобразования компонент тензоров при переходе к другим координатным системам, мы получаем те же самые формулы преобразования полей.

[Munin]

volchenok в сообщении #928941 писал(а):

Пожалуйста, укажите ссылку на литературу, где можно почитать о таком выводе формул перехода для полей из формулы для силы Лоренца.

А вы что, сами не можете проделать это по тому описанию, что я дал?

volchenok в сообщении #928941 писал(а):

Первый самый простой: просто из уравнений Максвела, используя преобразования Лоренца для координат и времени, переходим к к координатам и времени другой СО и все.

Ну-ну, я бы не сказал, что тут всё так просто. Если попробуете сделать это самостоятельно, то вас ждут интересные открытия.

volchenok в сообщении #928941 писал(а):

Второй способ заключается в выписывании тензора электромагнитного поля.

А откуда он выписывается? С потолка берётся?

volchenok в сообщении #928941 писал(а):

Тут конечно к Вам вопрос: используются ли уравнения Максвелла, чтобы записать этот самый тензор.

Нет, это к вам вопрос: что вы имеете в виду, когда говорите про "записать тензор". Откуда и в рамках какой цепочки рассуждений.

Дело в том, что физическая теория несколько отличается от математической по своему логическому порядку. В любой математической теории, в принципе, можно взять разные наборы аксиом, и из них выразить и доказать остальные утверждения. Например, аксиомы одного набора можно доказать как теоремы, исходя из другого набора. Но всё-таки, в математических теориях обычно общепринят какой-то один набор аксиом, указанный во всех учебниках. А вот физические теории - в основном просто наборы утверждений, и если их излагать логически последовательно, то можно пойти из разных мест в разном порядке. В одних учебниках выбирают один порядок, в других другой, в третих третий. Что из чего выводится и в каком порядке, и что считается невыводимыми основными фактами, таким образом, меняется от изложения к изложению.

[volchenok]

Сам могу это проделать, но мне для списка литературы нужно указать источник. Да и так интересно подробнее почитать о таком подходе. Первый способ, предложенный мной уже сделали давно ( это хорошо и подробно написано в книге" работы по теории относительности") так что врядли там будет что-то новое... Второй способ заключается в следующем. Вручную вводится некоторая величина, которую обзывают тензором электромагнитного поля и только потом доказывается что введенный нами обьект действительно тензор.Данный подход подробно изложен в Ахиезер " электромагнитные поля и волны" .

[Munin]

volchenok в сообщении #928993 писал(а):

Сам могу это проделать, но мне для списка литературы нужно указать источник.

Вот прочитаете Ландау-Лифшица ("Теория поля", разумеется), тогда можете включить его в список литературы.

Читать первые пять глав - это СТО и начала электродинамики, для начала достаточно.

Когда прочитаете - приходите, ещё книжек дам.

volchenok в сообщении #928993 писал(а):

( это хорошо и подробно написано в книге" работы по теории относительности")

Не читайте эту книгу.

volchenok в сообщении #928993 писал(а):

Первый способ, предложенный мной уже сделали давно ( это хорошо и подробно написано в книге" работы по теории относительности") так что врядли там будет что-то новое...

Вопрос в том, чтобы вы сами попробовали это сделать. Тогда убедитесь, что не всё так просто.

И узнаете всё-таки кое-что для себя новое и интересное, повторяю.

volchenok в сообщении #928993 писал(а):

Второй способ заключается в следующем. Вручную вводится некоторая величина, которую обзывают тензором электромагнитного поля и только потом доказывается что введенный нами обьект действительно тензор.Данный подход подробно изложен в Ахиезер " электромагнитные поля и волны" .

Это странно. Ахиезер, вроде, не дурак, а выглядит как очень безалаберная схема.

volchenok в сообщении #928993 писал(а):

Данный подход подробно изложен в Ахиезер " электромагнитные поля и волны" .

Такой книги в природе нет.

[volchenok]

Прошу прощение за ошибку. Книга называется " Электромагнетизм и электромагнитные волны".

[Munin]

Скачал.

Ну, там немного бессистемно, но всё-таки, не то, что пересказали вы.

Там сначала строятся преобразования полей для малых скоростей - в § 5.2; а затем они интегрируются до произвольных скоростей в § 7.4. И только потом заявляется, что полученная величина с полученным законом преобразования - 4-тензор - само это понятие вводится только в § 7.7.

К сожалению, выводы и в § 5.2, и в § 7.4 математически нестроги, иллюстративны. В § 5.2 вообще из одного уравнения

$$\mathbf{E}+[\mathbf{vB}]=\mathbf{E}'+[\mathbf{v}'\mathbf{B}']$$

получается два уравнения

$$\mathbf{E}'=\mathbf{E}+[(\mathbf{v}-\mathbf{v}')\mathbf{B}];\quad\mathbf{B}'=\mathbf{B}-[(\mathbf{v}-\mathbf{v}')\mathbf{E}].$$

Мало того, что этого получить вообще нельзя (уравнений не хватает), так ещё и неверно - верно только приближённо. Так что, в конечном счёте эти формулы свалились с потолка.

В § 7.4 поспешно исключается преобразование для $E_z,B_z$ (буст направлен вдоль оси $z$) - из того, что преобразование не затрагивает этих величин при малых скоростях, вообще говоря, не следует, что оно их не будет затрагивать при больших. Так, например, при преобразованиях тензоров встречаются члены порядка $(v/c),$ члены порядка $(v/c)^2,$ и вообще члены порядка $(v/c)^n.$

Итак, повторяю свою рекомендацию: вообще говоря, ЛЛ-2 - самый лучший учебник по этим вопросам электродинамики и СТО. Ещё можно посмотреть, например,
Фейнмановские лекции по физике. Т. 6.
Медведев. Начала теоретической физики.

[volchenok]

Ну имена авторов предложенной мною книги просто убедили меня в правильности всех выкладок. За ссылки огромное спасибо. Буду читать завтра. Будут вопросы - я буду к Вам обращаться. Спасибо.

[rustot]

volchenok в сообщении #928836 писал(а):

из уравнений Максвелла при помощи формул СТО

По-моему можно из уравнений Максвелла без формул СТО, выведя поле инерциально движущегося точечного заряда и сравнив его с полем неподвижного заряда, в которое оно превратится со сменой ИСО. По-моему при таком выводе единственное вольное допущение - то что поле "движется" вместе с зарядом, что переносом начала координат на $v t$ мы получим поле которое было $t$ секунд назад.

[Munin]

volchenok в сообщении #929076 писал(а):

Ну имена авторов предложенной мною книги просто убедили меня в правильности всех выкладок.

В правильности выкладок должно убеждать только одно - то, что вы проделали эти выкладки самостоятельно, и не встретили ошибок.

rustot в сообщении #929117 писал(а):

По-моему можно из уравнений Максвелла без формул СТО, выведя поле инерциально движущегося точечного заряда и сравнив его с полем неподвижного заряда, в которое оно превратится со сменой ИСО. По-моему при таком выводе единственное вольное допущение - то что поле "движется" вместе с зарядом, что переносом начала координат на $v t$ мы получим поле которое было $t$ секунд назад.

Ну, а вот для вас - полезное упражнение как раз это всё аккуратно проделать. Вы, я думаю, справитесь.

Что интересное вас ожидает:
- надо оговорить начальные и граничные условия для поля, причём в обеих ИСО. Аккуратно сделать это может быть непросто;
- надо оговорить закон преобразования зарядов и токов, поскольку для уравнений Максвелла они - внешние условия;
- в конечном счёте, вы можете обнаружить, что преобразования симметрии для уравнений Максвелла - шире только преобразований Лоренца. Они составляют так называемую конформную группу преобразований.

[rustot]

Ну давайте попробую. Я постараюсь жирным помечать домыслы, которые по моему мнению из уравнений Максвелла не следуют.

Допустим вдоль $x$ со скоростью $v$ движется заряд, то есть $\rho(x+v dt,y,z,t+dt) = \rho(x,y,z,t)$. Значит плотность тока получается $\vec{j} = \vec{v} \rho = v \hat{x} \rho$

Допустим, что поле "движется" вместе с зарядом, всегда по постоянному смещению от заряда сохраняя постоянную величину (а оно может допустим вместо этого монотонно расти или пульсировать или меняться как то еще в рамках, вписывающихся в уравнения Максвелла), то есть $\vec{E}(x+v dt,y,z,t+dt) = \vec{E}(x,y,z,t)$, ну и то же самое с $\vec{B}$. Такое допущение ничем не обоснованно, но оно выглядит достаточно логичным.

Отсюда следует, что мы можем заменить производные по времени на пространственные, $\frac{\partial}{\partial t} \vec{E} = - v \frac{\partial}{\partial x}\vec{E}$. Ну или можно там какие-нибудь $(\vec{v}\nabla)\vec{E}$ нарисовать для произвольного направления скорости, лично мне проще по школьному, c $\partial x$. У нас два уравнения Максвелла приобретают вид:

$\nabla\times\vec{E} = \frac{v}{c}\frac{\partial}{\partial x}\vec{B}$ (1)
$\nabla\times\vec{B} = \frac{v}{c}(4\pi\hat{x}\rho - \frac{\partial}{\partial x}\vec{E})$ (2)

Подставив в последнее еще одно уравнение Максвелла $\nabla\vec{E} = 4\pi\rho$ мы получим

$\nabla\times\vec{B} = \frac{v}{c}(\hat{x}\nabla\vec{E} - \frac{\partial}{\partial x}\vec{E}) \Rightarrow \nabla\times (\vec{B} - \frac{v}{c}(\hat{x}\times\vec{E}))= 0$ (3)

С учетом еще одного уравнения Максвелла $\nabla\vec{B} = 0$ и предположив что у искомого поля $\vec{B}$ отсутствует собственная (не привнесенная внешним полем) бездивиргентная безвихревая составляющая мы получим

$\vec{B} = \frac{v}{c}(\hat{x}\times\vec{E})$ (4)

Если я не ошибаюсь, бездвиргентное безвихревое поле не может быть локальным, не может "закончиться" или сойти в ноль на бесконечности. Например однородное поле. В этом случае такое допущение так же весьма логично.

Подставляя (4) в (1) получим

$\nabla\times\vec{E} = \frac{v^2}{c^2}\frac{\partial}{\partial x}(\hat{x}\times\vec{E})$ (5)

Если расписать это по координатам то получится:

$\frac{\partial}{\partial y} E_z - \frac{\partial}{\partial z}E_y = 0$ (6)
$\gamma^2\frac{\partial}{\partial z} E_x - \frac{\partial}{\partial x}E_z = 0$ (где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$)
$\gamma^2\frac{\partial}{\partial y} E_x - \frac{\partial}{\partial x}E_y = 0$

Заметив, что эта система похожа на равенство "покореженного" ротора нулю, провернем трюк, в полной легитимности которого я не совсем уверен. Перепишем это в сплюснутую систему координат $x' = \gamma x, y' = y, z' = z$ и в этих новых координатах получим:

$\nabla \vec{E}' = \gamma 4\pi\rho(x'/\gamma, y', z', t)$
$\nabla \times \vec{E}' = 0$

что имеет уже готовое решение поля покоящегося заряда или можно его снова вывести разложением Гельмгольца, опять же с повторными допущениям про бездивиргентные безвихревые поля которые делались выше для $\vec{B}$. Ну и там дальше переход обратно к нормальным координатам. Для объемного заряда при этом остается неопределенность, а не меняется ли его форма в движении, для точечного же по-моему все получается однозначным

[Munin]

Извините, отложу на попозже.

[Munin]

В общем, вы правильно нашли подводные камни.

[Munin]

Пара комментариев:

rustot в сообщении #929218 писал(а):

Допустим, что поле "движется" вместе с зарядом, всегда по постоянному смещению от заряда сохраняя постоянную величину... Такое допущение ничем не обоснованно, но оно выглядит достаточно логичным.

Его можно получить из принципа относительности, если мы считаем, что до буста наша система была статической (если не была, то оно и не работает).

rustot в сообщении #929218 писал(а):

предположив что у искомого поля $\vec{B}$ отсутствует собственная (не привнесенная внешним полем) бездивиргентная безвихревая составляющая...
Если я не ошибаюсь, бездвиргентное безвихревое поле не может быть локальным, не может "закончиться" или сойти в ноль на бесконечности. Например однородное поле. В этом случае такое допущение так же весьма логично.

Да, не ошибаетесь. Но мало того, что вы сказали: надо, чтобы и "привнесенная внешним полем" составляющая тоже была равна нулю.

Иначе, конечно, результат (преобразования Лоренца для полей) будет справедлив, но из уравнений Максвелла не будет следовать. Впрочем, вы и так рассматриваете не общий случай, а поля, которые в какой-то системе отсчёта статические. Можно считать, что выведя преобразования для таких полей, вы потом скажете, что для любых других полей они должны быть аналогичны в силу локальности законов природы.

rustot в сообщении #929218 писал(а):

Заметив, что эта система похожа на равенство "покореженного" ротора нулю, провернем трюк, в полной легитимности которого я не совсем уверен. Перепишем это в сплюснутую систему координат $x' = \gamma x, y' = y, z' = z$

Тут надо поподробней. Дело в том, что преобразованию координат (сплющиванию) подвергаются не только $x,y,z,$ но и компоненты векторов $E_x,E_y,E_z.$ Например, ваше уравнение (6) вторая строчка выглядит как ($\gamma$ всюду просто константа, число):
$\gamma\dfrac{\partial}{\partial z}E_x-\dfrac{\partial}{\gamma\,\partial x}E_z=0$
$\dfrac{\partial}{\partial z}(\gamma E_x)-\dfrac{\partial}{\partial x'}E_z=0$
и чтобы воспринимать это как часть "покорёженного ротора", надо будет ввести также $E_{x'}=\gamma E_x,$ и соответственно, $E_{y'}=E_y,\quad E_{z'}=E_z.$ Проверить, всё ли сходится, мы должны на уравнении с дивергенцией:
$\dfrac{\partial}{\partial x'}E_{x'}+\dfrac{\partial}{\partial y'}E_{y'}+\dfrac{\partial}{\partial z'}E_{z'}=\dfrac{\partial}{\gamma\,\partial x}(\gamma E_x)+\dfrac{\partial}{\partial y}E_y+\dfrac{\partial}{\partial z}E_z=\nabla\vec{E}=\text{ну тут уже не важно...}$

И обратите внимание, что когда вы перешли к новой системе координат, то вы должны штрихи навесить не только на вектор $\vec{E}$ (что соответствует указанной коррекции его компонент), но и на наблу, типа $\nabla'\times\vec{E}'=0.$

rustot в сообщении #929218 писал(а):

Для объемного заряда при этом остается неопределенность, а не меняется ли его форма в движении

Если заряды мы считаем заданными, то расположение объёмного заряда (или системы точечных зарядов) должно само подчиняться преобразованиям Лоренца для пространства и времени. Вот это довольно существенный момент: если мы знаем уравнения Максвелла, но не знаем, что механические системы, тела, линейки и объёмы сокращаются по ходу движения, то мы и не увидим в уравнениях Максвелла, что их решения подчиняются принципу относительности. Вместо этого, мы можем попытаться "загрузить" в уравнения Максвелла такую систему зарядов, которая не меняет форму в движении, и получим неправильный ответ: как будто поля для неподвижной и движущейся системы зарядов различны.

Надеюсь, всё это было интересно :-)