Этот таинственный спин электрона...

[spyphy]

Утундрий в сообщении #928540 писал(а):

Центральную симметрию проехали.

Мне не понятен ваш юмор. Рассматривается центрально симметричный объект. Для простоты пусть в трехмерном пространстве.

[Munin]

spyphy в сообщении #928536 писал(а):

Вообще лучше абстрагироваться от всяких нейронов

Это да... а то встанет вопрос, а есть ли они у вас вообще...

-- 09.11.2014 12:08:44 --

spyphy в сообщении #928578 писал(а):

Рассматривается центрально симметричный объект.

Следовательно, момент импульса нуль.

[spyphy]

Munin в сообщении #928655 писал(а):

Следовательно, момент импульса нуль.

значит нейтрон и электрон несимметричны?

[Munin]

Удивительно, и как вы догадались!

[spyphy]

Мне вот почему-то казалось, что точка (а так представляют себе физики электрон) должна уж быть центрально симметричной. Либо я что-то недопонял.

Осталось еще несколько вопросов.
А как так получается, что спин электрона, будучи параметром его сугубо личным, вроде заряда, при взаимодействии с другими телами может вызывать их вращение?
Правильно ли я понимаю, что для описания спина электрона нужно 3 вещественные переменные и одна дискретная (+1,-1). Если у нас есть два электрона, для которых вещественные (пространственные) компоненты спинов совпадают, а дискретные различны (спин-вверх и спин-вниз), то их суммарный момент импульса равен нулю?

[Munin]

spyphy в сообщении #928964 писал(а):

Мне вот почему-то казалось, что точка (а так представляют себе физики электрон) должна уж быть центрально симметричной. Либо я что-то недопонял.

Ну вот в классической физике физики тоже так думали. А в квантовой физике открыли спин. Оказалось, что точка бывает не центрально-симметричная, а ориентированная. Спин бывает целый и полуцелый, и только если он нулевой, это соответствует центральной симметрии.

spyphy в сообщении #928964 писал(а):

А как так получается, что спин электрона, будучи параметром его сугубо личным, вроде заряда, при взаимодействии с другими телами может вызывать их вращение?

Потому что передаётся, через взаимодействия электрона.

Не надо путать два значения слова "спин". Модуль спина - действительно "параметр" электрона, неизменный, он равен 1/2 в единицах $\hbar.$ А спиновое состояние - это сочетание модуля и направления спина. Направление бывает в разных ситуациях разное, может меняться, и при этом происходит передача углового момента туда или сюда.

spyphy в сообщении #928964 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для описания спина электрона нужно 3 вещественные переменные и одна дискретная (+1,-1).

Нет. Это вы перепутали с аргументами волновой функции электрона. Кстати, дискретную переменную лучше нумеровать $(+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}).$

Для описания самого спина нужно две комплексные переменные, которые как раз нумеруются дискретной величиной $(+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}).$ Правда, эти две комплексные переменные сравниваются с точностью до фазы, так что могут быть описаны как три вещественных параметра (точка на сфере Римана).

spyphy в сообщении #928964 писал(а):

Если у нас есть два электрона, для которых вещественные (пространственные) компоненты спинов совпадают, а дискретные различны (спин-вверх и спин-вниз), то их суммарный момент импульса равен нулю?

Всё сложней. Если есть два электрона, для которых пространственные распределения волновых функций совпадают, а спиновые распределения противоположны (например, у одного электрона вся волновая функция имеет спин вверх (компонента со спином вниз равна нулю), а у другого электрона вся волновая функция имеет спин вниз), то их суммарный спиновый момент равен нулю. Орбитальный может давать свой вклад.

Но это ещё не вся правда. Вся правда состоит в том, что для двух электронов надо записывать не две волновых функции для каждого электрона, а одну двухчастичную волновую функцию для двух электронов одновременно. Она будет иметь шесть вещественных пространственных аргументов, и два дискретных спиновых - по набору на каждый электрон соответственно. И она не всегда может раскладываться на произведение одночастичных волновых функций. Хотя для начала, можно попробовать и так рассуждать.

И на самом деле, она не раскладывается на произведение вообще никогда. Потому что, после того, как такую двухчастичную волновую функцию записали, её надо антисимметризовать - учесть то условие, что электроны тождественны, и при перемене мест электронов, волновая функция не меняется, только меняет знак. Перемена мест электронов - это перемена между собой всех их параметров, то есть волновая функция удовлетворяет равенству $\psi(x_1,y_1,z_1,s_1,x_2,y_2,z_2,s_2)=-\psi(x_2,y_2,z_2,s_2,x_1,y_1,z_1,s_1).$ Можно сравнить это с условием нечётности обычной функции: $y(x)=-y(-x).$ И вот тут выясняется, что недостаточно того, чтобы у одного электрона спин был вверх, а у другого - вниз. Они должны входить в волновую функцию в комбинации $|1{:}\uparrow\rangle|2{:}\downarrow\rangle-|1{:}\downarrow\rangle|2{:}\uparrow\rangle,$ которая называется синглетное состояние ($S$). Если вместо этого сделать комбинацию $|1{:}\uparrow\rangle|2{:}\downarrow\rangle+|1{:}\downarrow\rangle|2{:}\uparrow\rangle,$ то это будет одна из проекций триплетного состояния ($T$), которое в какой-то другой системе координат окажется состоянием с двумя одинаково направленными спинами. Такая комбинация вообще несовместима с требованием, чтобы пространственные распределения волновых функций совпадали - вместо этого, они должны быть ортогональными как функции, $\int\psi_1^*\psi_2 d^3x=0.$ Ну и, любые другие сочетания произведений $|1{:}\uparrow\rangle|2{:}\downarrow\rangle$ и $|1{:}\downarrow\rangle|2{:}\uparrow\rangle$ будут комбинациями синглетного и триплетного состояний.

Всё это в достаточно простом виде написано в
Фейнмановские лекции по физике. Т. 8.
и подробнее и универсальнее (хотя для начинающего довольно сложно) в
Ландау, Лифшиц. Квантовая механика. (Теоретическая физика, т. 3).

[amon]

А мне про спиноры почему-то такая книжка в свое время очень понравилась:
Румер Ю.Б. Спинорный анализ [1936]

[spyphy]

Да, разные авторы немного разные вещи под ''спином'' понимают. В предыдущем сообщении я был спутал момент импульса с оператором спина, так что там неправда всё.
Почему оператор спина вводится это понятно - особенность квантовой механики. Но вот в чем же отличие классического момента импульса от квантового спина пока не уловил. Пишут, что это свойство исчезает при $\hbar \to 0$. Откуда это следует?

[Munin]

spyphy в сообщении #931338 писал(а):

Да, разные авторы немного разные вещи под ''спином'' понимают.

Неправда.

Почитайте, что ли, ЛЛ-3. Там всё очень просто объяснено и разложено по полочкам.

[spyphy]

Да читал я ЛЛ-3. Что мог понять, то понял.
В общем два вопроса меня пока интересуют:
1) когда мы на практике работаем с электронами в макромасштабе (ну скажем, с электрическим током), то должны ли мы учитывать какие-то особенности спинового момента импульса или же можно просто считать, что каждый электрон обладает моментом импульса по модулю $\hbar/2$?
2) откуда выводится (ну кроме эксперимента), что модуль спина электрона равен $\hbar/2$. Это где-то у Дирака было?

[Munin]

spyphy в сообщении #931365 писал(а):

Да читал я ЛЛ-3. Что мог понять, то понял.

Ок. Для начала.
1. Есть орбитальный угловой момент, собственный угловой момент (спин) и суммарный угловой момент. Они связаны между собой.
2. Есть система и подсистемы. У системы есть полный угловой момент, который складывается из орбитальных и собственных моментов подсистем. Для каждой подсистемы её собственный угловой момент - тоже в свою очередь складывается из орбитальных и угловых моментов частиц, входящих в подсистему.
Это, надеюсь, предельно ясно?

Дальше. Любой момент имеет величины $\mathbf{L}^2$ и $L_z,$ которые могут одновременно принимать определённые значения. Для каждого $\mathbf{L}^2$ существует $L_{z\max},$ монотонно возрастающий вместе с ним, и все допустимые величины $L_z$ заключены в пределах $-L_{z\max}<L_z<L_{z\max},$ с шагом единичка. Это выполняется и для целых моментов (орбитальные и спины), и для полуцелых (только спины). Этот спектр значений исчерпывающий, и распределения амплитуд по этому спектру - описывают все возможные значения углового момента, в том числе и собственные значения $L_x,L_y.$

Говоря, что "спин частицы столько-то", подразумевают обычно $L_{z\max}.$ Говоря, что "частица находится в состоянии со спином столько-то", подразумевают конкретное значение $L_z.$

Это тоже, надеюсь, ясно?

Вышеописанный спектр переходит в непрерывный в пределе $\hbar\to 0.$

spyphy в сообщении #931365 писал(а):

1) когда мы на практике работаем с электронами в макромасштабе (ну скажем, с электрическим током), то должны ли мы учитывать какие-то особенности спинового момента импульса или же можно просто считать, что каждый электрон обладает моментом импульса по модулю $\hbar/2$?

Зависит от того, что вы вообще с электронами делаете. Часто спином вообще можно пренебречь. Когда им нельзя пренебречь - тогда часто надо учитывать его квантовые свойства. Не забывайте, что спин отвечает, например, за запрет Паули, и именно квантовым способом.

spyphy в сообщении #931365 писал(а):

2) откуда выводится (ну кроме эксперимента), что модуль спина электрона равен $\hbar/2$. Это где-то у Дирака было?

Ниоткуда не выводится. Только эксперимент.

Вывести можно то, что спин любой частицы будет либо целый, либо полуцелый. Но какой именно выбрать - это надо брать из эксперимента, и больше неоткуда.

Дирак вывел немножко другое: он строил релятивистски-инвариантное уравнение типа уравнения Шрёдингера, и добивался, чтобы оно было уравнением 1-го порядка по времени (в отличие от уже известного тогда уравнения Клейна-Гордона). И получил результат, что такое уравнение должно описывать частицу со спином самое меньшее 1/2. Хотя, как потом оказалось, спин такой частицы может быть и больше, и может быть и целым в том числе. Исключён только спин 0.

[spyphy]

То есть, грубо говоря, в квантовой механике спин квантуется (как и всё остальное).
В принципе, существование минимального ненулевого значения для момента импульса (и его дискретность) можно логически вывести из существования минимальной энергии квантового осциллятора $E_0 = \hbar \omega / 2$ (либо из соотношения неопределенностей). Правда, численные оценки получаются в районе $\hbar$, а не $\hbar/2$. Т.е. в этом фишка электрона?

Получается, квантовость явления заключается в том, что в классической физике электрон мог бы перестать вращаться за счет потерь энергии, а этого не происходит.

[Cos(x-pi/2)]

spyphy
Не стоит так упрощать картину; это значило бы себя обманывать. Квантование энергии и спин - очень разные понятия.

Квантование уровней энергии имеется уже в 1-мерных задачах (осциллятор - хороший пример). Притом много есть и задач с непрерывным спектром энергии (задачи о рассеянии).

Квантование же момента импульса существенно связано с понятием симметрии (или отсутствии таковой) к вращениям, к поворотам. В случае орбитального момента импульса электрона речь идёт о типах симметрии волновой функции в обычном 3-мерном пространстве. А в случае спина речь идёт уже о "внутреннем свойстве" электронов. Аналогия с классическим волчком частенько используется для попыток популярного изложения, но это очень отдалённая аналогия от квантовой идеологии. Строго говря, для спина нет классической аналогии. Существенно также, что спин связан с типом квантовой статистики частиц (фермионы/бозоны) - этому также нет аналогии в классической механике.

[spyphy]

Cos(x-pi/2) в сообщении #931447 писал(а):

Строго говря, для спина нет классической аналогии.

Ну хорошо, классической аналогии нет. А есть неклассическая аналогия? пусть даже и не очень наглядная.
Если сохранение момента импульса (хоть орбитального, хоть собственного) есть следствие анизотропии простраства, то, по логике вещей, и само явление момента импульса имеет место из-за наличия направлений в пространстве (ну т.е. благодаря наличию самого пространства, т.к. кроме направлений в нем больше ничего и нету по сути).
Но вот что значит "внутреннее свойство" электрона? Т.е. если ''выколоть'' электрон из пространства, то спин у него всё равно останется? В таком смысле я представляю себе спин как некое "темное облако", которое может перетекать макротелам (на подобие теплорода в средние века) и вызывать тем самым их вращение, немного странно, не так ли?

[spyphy]

spyphy в сообщении #931493 писал(а):

следствие анизотропии изотропии