Этот таинственный спин электрона...

[Cos(x-pi/2)]

spyphy
Неклассическая ненаглядная аналогия найдётся, но это будет математика. Вам оно не надо, а то получите лишь вторую загадку вдобавок к уже одной...

spyphy в сообщении #931493 писал(а):

Но вот что значит "внутреннее свойство" электрона? Т.е. если ''выколоть'' электрон из пространства, то спин у него всё равно останется

"Выкалывать" ничего не нужно, а нужно сначала представить, что электрон остановлен или находится в состоянии со сферически симметричной волновой функцией - например, как в атоме водорода в s-состоянии; т.е. при этом в пространстве нет никакого выделенного направления, связанного с формой волновой функции (наглядно говоря,- с формой электронного "облака вероятности").

Хорошо бы даже представить себе, что электрон в таком состоянии приготавливается (испускается) некоторым источником электронов, т.е. неким классическим прибором, который мы можем держать в руках.

И вот тут возникает вопрос: если мы повернём этот источник (вокруг какой-нибудь оси на какой-нибудь произвольный угол), то можно ли будет хоть как-то отличить состояние испущенных им электронов, - повёрнутое состояние, - от неповёрнутого?

Волновая-то функция в обоих случаях заведомо будет одна и та же, раз она сферически симметричная. Поэтому наивно можно было бы подумать, что при таком условии никогда и никак не удастся отличить повёрнутые электроны от неповёрнутых.

Но, подумав чуть внимательнее, мы смекаем, что если электрон имеет какую-то "собственную" асимметрию, т.е. "внутреннюю", не связанную с видом его "облака вероятности", то поворот заметить, в принципе, удастся. Значит, надо ставить опыт и смотреть, влияют ли повороты на состояние электрона.

Опыты нужного типа были поставлены (самые первые - Штерном и Герлахом), и показали, что да, электрон имеет "внутреннюю несферичность своих свойств" - спин, который поворачивается, если мы поворачиваем соответствующий источник электронов. Со спином связан и собственный магнитный момент электрона, который тоже реально проявляется в опытах.

Эта ситуация отчасти аналогична (но не в точности аналогична, есть существенные отличия!) ситуации с поляризованным светом: хорошо известно, что можно сделать источник линейно поляризованных фотонов, и если его поворачивать вокруг направления полёта фотонов, то и направление поляризации фотонов поворачивается (хотя "орбитальное движение", т.е. направление луча света, при этом не меняется). Так вот наличие у электрона спина отчасти аналогичено свойству поляризации фотона.

Примечательно (и даже очень замечательно!), что все эти понятия наиболее естественным путём, чётко и строго, формулируются языком математики, в мат. аппарате квантовой механики. Их легко разбирать и понимать, решая задачи. А вот на бытовом языке, для неспециалистов, увы, суть таких понятий практически нереально объяснить...

Фактически это тоже закон природы, и, я думаю даже, что он самый основной: система физических явлений в нашей Вселенной оказалась глубоко "математичной"; её логика максимально стройна, но совершенно неподатлива обывательскому, чисто созерцательному восприятию...

[spyphy]

Cos(x-pi/2) в сообщении #931573 писал(а):

Примечательно (и даже очень замечательно!), что все эти понятия наиболее естественным путём, чётко и строго, формулируются языком математики

Я совсем не против буду, если приведете математическое доказательство того, что спин электрона не связан с его вращением.

Опыты Штерна-Герлаха доказывают существование собственного момента импульса у электрона и его квантованность. Ок, с этим ясно.

Cos(x-pi/2) в сообщении #931573 писал(а):

и показали, что да, электрон имеет "внутреннюю несферичность своих свойств" - спин, который поворачивается, если мы поворачиваем соответствующий источник электронов.

Я не заметил здесь противоречий с концепцией "волчка". Вероятно, там были более сложные опыты на эту тему, но мне не известны детали.

[Munin]

spyphy в сообщении #931435 писал(а):

То есть, грубо говоря, в квантовой механике спин квантуется (как и всё остальное).

Грубо говоря, квантуется. Но не как и всё остальное: есть вещи, которые не квантуются. Например, у свободного электрона спектр энергии - непрерывный.

spyphy в сообщении #931435 писал(а):

В принципе, существование минимального ненулевого значения для момента импульса (и его дискретность) можно логически вывести из существования минимальной энергии квантового осциллятора $E_0 = \hbar \omega / 2$ (либо из соотношения неопределенностей).

В принципе, не стоит. Ерунда какая-то. Это вещи вообще между собой никак не связанные.

spyphy в сообщении #931435 писал(а):

Правда, численные оценки получаются в районе $\hbar$, а не $\hbar/2$. Т.е. в этом фишка электрона?

При любом квантовании оценки будут порядка $\hbar,$ а конкретный коэффициент - будет зависеть от деталей.

spyphy в сообщении #931435 писал(а):

Получается, квантовость явления заключается в том, что в классической физике электрон мог бы перестать вращаться за счет потерь энергии, а этого не происходит.

Фактически, это с орбитальным движением происходит: электрон может перейти с $2p$ на $1s$-уровень, и "перестать вращаться".

Cos(x-pi/2) в сообщении #931447 писал(а):

Не стоит так упрощать картину; это значило бы себя обманывать.

Это надо как девиз повторять всем и вся по тридцать раз на дню. И то, до большинства не дойдёт, боюсь...

[Cos(x-pi/2)]

spyphy

spyphy в сообщении #p931599 писал(а):

Я совсем не против буду, если приведете математическое доказательство того, что спин электрона не связан с его вращением.

Эх... всегда одна и та же проблемка... Когда Вы печатаете подобное предложение (да и свои вопросы тоже), это у Вас занимает, наверное, всего 10 минут; ну, пусть даже полчаса. А вот мне, или другому человеку, кто возьмётся давать Вам исчерпывающий ответ, придётся здесь растолковывать информацию из многих глав серьёзных учебников по математике и по квантовой механике, типа ЛЛ-3, с выводом формул, с пояснениями и с изготовлением рисунков, с разбором задач...

Принципиальной-то проблемы нет, но... честно признаюсь, морально я ещё не созрел бросить дела и убить вечер (а то и ночь, или даже пару дней - не знаю заранее, сколько потребуется времени) на такое мероприятие. Имхо, в подобных случаях заинтересованное лицо прежде всего само должно приложить максимум усилий, чтобы разобраться со своими непонятками по имеющейся в изобилии учебной литературе.

Вкратце же суть такова. Вращение волчка математически описывается 3-мерным вектором угловой скорости (см. ЛЛ-1, гл. VI "Движение твёрдого тела"). Через него выражается и вектор момента импульса, причём, особенно просто в случае шарового волчка. Но для отдельно взятой квантовой частицы, в частности для электрона, отсутствует понятие вектора угловой скорости и вектора момента импульса со всеми их тремя $x$, $y$ и $z$ проекциями, а можно непротиворечиво ввести только средние значения этих проекций по ансамблю электронов (ЛЛ-3, гл. IV, V, VIII).

Делается это с помощью трёх операторов проекций момента импульса. Существенен и не имеет классической аналогии тот факт, что вид этих оператороа полностью определяется свойствами поворотов в 3-мерном пространстве, а из свойств этих операторов полностью следуют все свойства момента импульса в квантовой механике - как орбитального момента, так и собственного момента, т.е. спина.

Одно из главных свойств - взаимная некоммутативность операторов проекций момента импульса. Как раз отсюда математически выводится, что три проекции момента импульса не могут одновременно иметь определённых значений (кроме тривиального случая, когда они все три равны нулю). Т.е. средние по ансамблю значения существуют, а определённые значения для отдельного электрона - нет; только любая одна из трёх проекций может быть определённой, а остальные две как бы флуктуируют. "Как бы" - потому что статистические свойства квантовых флуктуаций отличаются от свойств флуктуаций случайных величин в классической физике, не сводятся к ним. В итоге, мы вынуждены заключить, что электрон не есть волчок.

spyphy в сообщении #p931599 писал(а):

Я не заметил здесь противоречий с концепцией "волчка". Вероятно, там были более сложные опыты на эту тему, но мне не известны детали.

Как говорится, "любите книгу - источник знаний", и будете в курсе деталей. По данной теме изучите Фейнмановские Лекции по Физике, том (или выпуск, его кто как называет) 8, главы 3, 4, 8-10. Первые две главы тоже надо прочесть, для разгона; и остальные, всяко, пойдут на пользу.

[spyphy]

Вообще Фейнмана, конечно, стоит почитать и еще попытаться разобраться. Но у него эта тема на 2 тома разнесена в своеобразном стиле изложения, так с ходу сложно вытянуть нужную инфу. И не факт, что после этого все вопросы отпадут.

То что момент импульса квантуется это ладно, можно принять, без этого в квантовой механике вообще ни в какую. В этом смысле электрон не является классическим волчком. Но и если взять объект какой побольше, скажем Землю, то ее момент импульса тоже квантуется. И в этом смысле Земля объект тоже квантовым, но мы считаем, что она вращается вокруг своей оси, так ведь или нет?
Из того, что здесь ранее писалось, как бы следует, что объекты с целым спином могут вращаться, а с полуцелым не могут. Вот если у Земли вдруг окажется суммарный момент импульса $N\hbar + \hbar/2$, то она будет подчиняться статистике Ферми-Дирака, но от этого она же не перестанет вращаться?

[Cos(x-pi/2)]

spyphy

Земля это в хорошем приближении классический шаровой волчок. Вращается она самым обычным, классическим образом: её вектор угловой скорости вполне определённый и её момент импульса не квантуется (а обсуждать его величину с такой безумной точностью, чтобы отличать $N\hbar + \hbar/2$ от $N\hbar$, - бессмысленно).

И сочетание понятия "статистика Ферми-Дирака" с Землёй бессмысленно. Квантовая статистика применима только к тождественным частицам, т.е. к одинаковым во всех своих свойствах; так бывает в микромире. Макроскопические же тела, как планеты, индивидуальны; описывать их движение по квантовой механике нереально и не нужно.

(Оффтоп)

Эту беседу дальше не продолжаю, т.к. ваш подход поверхностный: Вы, не вникнув в азы, хотите (да и то ленитесь) вытянуть какую-то "нужную" инфу из книги, в которой вообще нет лишней информации.

[type2b]

Развернутый ответ на вопрос про спин такой.

Спин -- это обычный момент импульса. Но довольно бессмысленно представлять себе, что он происходит из вращения электрона. К сожалению, чтобы задавать осмысленные вопросы о микромире, нужно развить некоторую интуицию, которая отличается от классической.

Два спиновых состояния электрона действительно похожи на состояния осциллятора. Т.е. представьте себе осциллятор, у которого всего два состояния. У него будет энергия $\hbar\omega/2$ или $3\hbar\omega/2$. В классическом пределе $\hbar \rightarrow 0$ и энергии этих уровней стремятся к нулю, но это настоящие энергии в обычном смысле. Просто они квантуются. Так же и спин: в классическом пределе он стремится к нулю, но это обычный (квантованный) момент импульса. Но важно понимать, что покоящийся электрон имеет спин $\hbar/2$, и его нельзя ни раскрутить, ни замедлить. Абсолютная величина спина это фиксированное внутреннее свойство электрона. Точнее, аналогом раскручивания будет реакция, где электрон сталкивается с другой частицей, и на выходе получаются частицы с другими спинами. Но в продуктах реакции будут просто другие частицы, а не "раскрученный электрон". Аналогию с раскручиванием/замедлением лучше рассмотреть на атомных ядрах. Они в данном квантовом состоянии имеют какой-то конкретный угловой момент, но могут излучить или поглотить чего-нибудь и перейти в состояние с другим угловым моментом.

Математическое пояснение.

Группа вращений -- это SO$(3)$. (Точнее, для спина нам нужна ее накрывающая SU$(2)$.) На классике, эта группа действует на фазовом пространстве, т.е. вращение преобразует одну классическую траекторию в другую. В квантовой механике, состояния живут в линейном пространстве, и группа симметрий действует в этом пространстве. Т.е. волновые фукнции преобразуются по какому-то представлению SU$(2)$. То, что спин электрона равен 1/2, означает просто, что волновая функция покоящегося электрона живет в двумерном пространстве, на котором SU$(2)$ дейтсвует обычным двумерным представлением. В этом смысле, электрон не симметричен: при поворотах волновая функция покоящегося электрона меняется. Но не стоит его себе представлять как шарик или стрелочку, такая аналогия неполезна.

Если смотреть на волновую функцию орбитального движения, то она тоже преобразуется по какому-то представлению SO$(3)$. Если спин всегда равен 1/2, то орбитальный угловой момент может быть каким угодно большим. (Правда, он должен быть целым, в то время как спин может быть и полуцелым.) В пределе большого орбитального момента, генераторы $\mathfrak{su}(2)$ превращаются в обычный классический вектор углового момента.

Заметим, что угловой момент в квантовой механике всегда квантуется (т.к. группа вращений компактна), в то время как энергия квантоваться не обязана.

Кстати, можно действительно получить двумерное гильбертово пространство для спиновых состояний электрона квантованием осциллятора. Только это будет осциллятор с грассмановыми (фермионными) переменными.

А ближе всего к классическому понятию о шарике будет такое описание. Возьмем систему, фазовое пространство которой есть 2-сфера, а симплектическая форма -- стандартная форма Фубини-Штуди, нормированная на площадь $2j$. (Это кстати очень непривычно, иметь компактное фазовое пространство. Обычно у нас фазовое пространство есть кокасательное расслоение к конфигурационному. Заметим, что квантование компактного фазового пространства дает, по кр. мере обычно, конечномерное гильбертово пространство.) На этой сфере группа вращений действует обычными вращениями. Легко видеть, что гамильтонианы, генерирующие вращения -- это стандартные координаты $x,y,z$ в 3д пространстве, в которое может быть вложена сфера. Их скобка Пуассона относительно формы Фубини-Штуди воспроизводит коммутаторы $\mathfrak{su}(2)$. Можно показать, что квантование этой классической системы дает как раз представление спина $j$, а координатные функции $x$, $y$ и $z$ превращаются в операторы -- генераторы вращений.

Заметим, что фазовое пространство твердого тела с неподвижной точкой есть $T^*$SO$(3)$. Оно некомпактно. Поэтому-то покоящийся электрон преобразуется по представлению с фиксированным спином, в то время как твердое тело можно раскрутить до любого углового момента.

[bayak]

type2b в сообщении #932763 писал(а):

В квантовой механике, состояния живут в линейном пространстве, и группа симметрий действует в этом пространстве. Т.е. волновые фукнции преобразуются по какому-то представлению SU$(2)$. То, что спин электрона равен 1/2, означает просто, что волновая функция покоящегося электрона живет в двумерном пространстве, на котором SU$(2)$ дейтсвует обычным двумерным представлением.

Из такого объяснения непонятно как 1/2 связана с 2, т.е. непонятно откуда берётся минимальный спин.

[type2b]

чтобы это понять, надо прочитать про элементарные азы теории представлений, конкретно -- про $\mathfrak{su}(2)$. Изложение можно найти во многих физических и математических книжках.

[Munin]

spyphy в сообщении #932601 писал(а):

Вообще Фейнмана, конечно, стоит почитать и еще попытаться разобраться. Но у него эта тема на 2 тома разнесена в своеобразном стиле изложения, так с ходу сложно вытянуть нужную инфу.

Отнюдь, как раз эта тема - очень компактно изложена в указанных вам главах.

А "своеобразный стиль" многие считают плюсом. Хотите помучиться с другим стилем - ЛЛ-3 вам в зубы в руки, главы 4 и 8. Знаний получите больше, но усилий затратите - непропорционально больше. И головную боль.

Cos(x-pi/2) в сообщении #932655 писал(а):

Квантовая статистика применима только к тождественным частицам, т.е. к одинаковым во всех своих свойствах; так бывает в микромире. Макроскопические же тела, как планеты, индивидуальны; описывать их движение по квантовой механике нереально и не нужно.

Предлагаю интересную задачку:

Система $s$ образована двумя частицами $a$ и $b,$ притягивающимися друг к другу некоторым потенциалом. Возьмём две такие системы, причём будем считать, что и $a$ и $b$ - фермионы (тут можно играть условиями: бозоны, одна фермион другая бозон). Показать, что обе эти системы ведут себя как бозоны (бозоны, фермионы), а если это выполняется лишь приближённо - то выяснить, в каком приближении. Достаточно рассмотреть одномерное движение.

То есть, в каком-то смысле кирпич не бозон, но если очень аккуратно оговорить условия... :-)

type2b в сообщении #932763 писал(а):

Точнее, аналогом раскручивания будет реакция, где электрон сталкивается с другой частицей, и на выходе получаются частицы с другими спинами. Но в продуктах реакции будут просто другие частицы, а не "раскрученный электрон".

Точнее, в какой-то момент разговора в квантовой физике исчезает разница между "раскручиванием" системы из нескольких частиц, и превращением её в другую систему. Это просто два разных словесных языка, чтобы описывать одну и ту же математику: спектр энергий (и здесь моментов) можно называть либо разными частицами, либо разными состояниями одной системы (частицы). Нюанс только в том, что некоторые свойства частиц заведомо нельзя приписать каким-то движениям внутри системы, например, полуцелый угловой момент никогда нельзя (целиком) свести к орбитальному движению.

type2b в сообщении #932763 писал(а):

Но не стоит его себе представлять как шарик или стрелочку, такая аналогия неполезна.

Непонятно, а как ещё его себе наглядно представлять. Я только "стрелочкой" и спасаюсь (или иногда шаровой функцией полуцелого порядка).

type2b в сообщении #932763 писал(а):

Возьмем систему, фазовое пространство которой есть 2-сфера, а симплектическая форма -- стандартная форма Фубини-Штуди, нормированная на площадь $2j$.

Простите, а можно это как-нибудь просто в координатах увидеть, чтобы не гуглить долго по неизвестным фамилиям?

type2b в сообщении #932763 писал(а):

На этой сфере группа вращений действует обычными вращениями.

Непонятно почему, ведь пространство же фазовое. Половина его координат непространственная, разве нет?

type2b в сообщении #932770 писал(а):

чтобы это понять, надо прочитать про элементарные азы теории представлений, конкретно -- про $\mathfrak{su}(2)$. Изложение можно найти во многих физических и математических книжках.

Какую-нибудь одну физическую (не математическую!) книжку назовёте?

[IVAN GARAGAN]

У электрона спин показывает энергетический уровень орбитали, на которой расположены два электрона в квантовой ячейке.
Вращение электрона вокруг собственной оси - это исключительная абстракция для наилучшего понимания. На самом деле никакого вращения вокруг собственной оси у электрона нет. Мотивация ввода понятия "спин" для дифференциации электронов в квантовых ячейках относительно их энергий и скоростей орбитального вращения.

[type2b]

Munin, про книжки я отвечал на вопрос bayak про то, почему представление спина 1/2 двумерно. А насчет спина через квантование сферы я к сожалению не знаю, в каких физических книжках это изложено. Из математических -- любая книга по геометрическому квантованию, например, Кириллов "Геометрическое квантование" в обзорах ВИНИТИ.

Пусть имеется двумерная сфера в трехмерном пространстве, 3д координаты $x$, $y$ и $z$. Легко написать индуцированную форму объема (т.е. площади) на сфере. Она и называется формой Фубини-Штуди. Дальше надо взять ее в качестве симплектической формы и найти соответствующие скобки Пуассона для функций $x$, $y$ и $z$. Извините, у меня сейчас нет возможности это выписывать, но при желании вы можете проделать это в качестве легкого упражнения.

[bayak]

type2b в сообщении #932924 писал(а):

я отвечал на вопрос bayak про то, почему представление спина 1/2 двумерно

А я Вам намекал на то, что биспинорное представление спина 1/2 четырёхмерно.

[type2b]

здесь речь идет о покоящемся электроне и представлениях группы 3д вращений, а не Лоренца.

[Munin]

type2b в сообщении #932924 писал(а):

Извините, у меня сейчас нет возможности это выписывать, но при желании вы можете проделать это в качестве легкого упражнения.

Не, уже ясно, я думал, что это какая-то другая форма.

За книжку спасибо!