Школьная задача по теории чисел

[Qazed]

Здравствуйте, прошу помощи в решении задачи

Цитата:

Найдите количество таких пар натуральных чисел $a$ и $b$, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа $b$, то получится число, большее произведения чисел $a$ и $b$ в 34 раза

Пусть $b$ число $k$-значное, тогда

$$ \overline{a b} = 34 a b \iff 10^k a + b = 34ab \Rightarrow 10^k a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow (10^k \vdots b \vee a \vdots b) \wedge b \vdots a \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \vee \underbrace{(a \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{2-е след.} \Rightarrow \ast_1$$

Рассматриваю подробнее 2-е следствие. В итоге получается что $a$ равно отношению чётного и нечётного числа, значит $a$ не целое.

$$(a \vdots b \wedge b \vdots a) \Rightarrow a = b \Rightarrow 10^k a + a = 34a^2 \Rightarrow 10^k + 1 = 34 a \Rightarrow a = \dfrac{10^k+1}{34} \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \exists m \in \mathbb N \quad \exists x = 2m+1 \quad \exists y = 2m : a = \dfrac{x}{y} \Rightarrow a, b \notin \mathbb N \Rightarrow \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.}$$

Возвращаюсь к предыдущему рассуждению. Если $b$ кратно $a$ и $b$ не равно $a$, то $b$ строго больше $a$.

$$\ast_1 \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.} \Rightarrow 10^k \vdots b \wedge ( b \vdots a \wedge a \ne b ) \Rightarrow \underbrace{10^k \vdots b \wedge b \vdots a}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{b > a}_\text{4-е след.} \Rightarrow \ast_2$$

Рассматриваю подробнее 1-е и 4-е следствие. Для выполнения этих условий должна выполнятся следующая система. Степени $b$ (в разложении на 2 и 5) не превосходят значения $k$, а значения степеней $a$ не превосходят значения степеней $b$.

$$\ast_2 \Rightarrow \begin{cases} a = 2^{\alpha_1} 5^{\alpha_2} \wedge ( \alpha_1 < \beta_1 ) \wedge ( \alpha_2 < \beta_2 ) \\ b = 2^{\beta_1} 5^{\beta_2} \wedge ( \beta_1 \leqslant k ) \wedge ( \beta_2 \leqslant k ) \end{cases}$$

Помогите, пожалуйста, установить максимальное значение $k$.

[provincialka]

Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

[Qazed]

provincialka в сообщении #926360 писал(а):

Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

Пардон, поправлю

[provincialka]

В варианте с суммой задача сводится к стандартному диофантову уравнению.

(Оффтоп)

И ради бога, пишите словами

[nnosipov]

В обоих вариантах примерно одно и то же. Вариант с произведением немного интересней.

[Qazed]

(Оффтоп)

Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.

-- 04.11.2014, 11:21 --

provincialka в сообщении #926360 писал(а):

Так "на 34" или "в 34 раза"?

Поправил

[provincialka]

Насчет кванторов - очень спорно. Все-таки естественный язык для человека более естественен, извините за каламбур. Большинство людей сначала решают задачу содержательно, а уж потом, при желении, навешивают всякие красивые значки. Вот и эта задача, как справедливо заметил nnosipov, решается по шаблону. Если этот шаблон знать или придумать.

[AV_77]

Qazed в сообщении #926369 писал(а):

Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.

Человек думает не кванторами, а словами. На фоне же чрезмерного увлечения кванторами у вас, к сожалению, страдает логика. В частности, из $b \mid 10^ka$ не следует, что $(b \mid 10^k) \vee (b \mid a)$

[Shadow]

34 слишком, слишком много...

[provincialka]

Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

[Qazed]

provincialka в сообщении #926389 писал(а):

Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

Задача сформулирована для суммы и произведения

[provincialka]

Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась

[Shadow]

Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\ ab \ge 10^{k-1}a\\ \\ \Rightarrow\\ \\ \dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

[provincialka]

Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.

[Qazed]

provincialka в сообщении #926394 писал(а):

Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась

Для суммы я уже решил, здесь я спросил про произведение

-- 04.11.2014, 13:06 --

Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.

Shadow в сообщении #926395 писал(а):

Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\ ab \ge 10^{k-1}a\\ \\ \Rightarrow\\ \\ \dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

Можете пояснить для дебилов?