2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 09:41 
Аватара пользователя
Здравствуйте, прошу помощи в решении задачи
Цитата:
Найдите количество таких пар натуральных чисел $a$ и $b$, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа $b$, то получится число, большее произведения чисел $a$ и $b$ в 34 раза

Пусть $b$ число $k$-значное, тогда
$$ \overline{a b} = 34 a b \iff 10^k a + b = 34ab \Rightarrow 10^k a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow (10^k \vdots b \vee a \vdots b) \wedge b \vdots a \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \vee \underbrace{(a \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{2-е след.} \Rightarrow \ast_1$$
Рассматриваю подробнее 2-е следствие. В итоге получается что $a$ равно отношению чётного и нечётного числа, значит $a$ не целое.
$$(a \vdots b \wedge b \vdots a) \Rightarrow a = b \Rightarrow 10^k a + a = 34a^2 \Rightarrow 10^k + 1 = 34 a \Rightarrow a = \dfrac{10^k+1}{34} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \exists m \in \mathbb N \quad \exists x = 2m+1 \quad \exists y = 2m : a = \dfrac{x}{y} \Rightarrow a, b \notin \mathbb N \Rightarrow \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.}$$
Возвращаюсь к предыдущему рассуждению. Если $b$ кратно $a$ и $b$ не равно $a$, то $b$ строго больше $a$.
$$\ast_1 \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.} \Rightarrow 10^k \vdots b \wedge ( b \vdots a \wedge a \ne b ) \Rightarrow \underbrace{10^k \vdots b \wedge b \vdots a}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{b > a}_\text{4-е след.} \Rightarrow \ast_2$$
Рассматриваю подробнее 1-е и 4-е следствие. Для выполнения этих условий должна выполнятся следующая система. Степени $b$ (в разложении на 2 и 5) не превосходят значения $k$, а значения степеней $a$ не превосходят значения степеней $b$.
$$\ast_2 \Rightarrow \begin{cases} a = 2^{\alpha_1} 5^{\alpha_2} \wedge ( \alpha_1 < \beta_1 ) \wedge ( \alpha_2 < \beta_2 ) \\ b = 2^{\beta_1} 5^{\beta_2} \wedge ( \beta_1 \leqslant k ) \wedge ( \beta_2 \leqslant k ) \end{cases}$$
Помогите, пожалуйста, установить максимальное значение $k$.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 09:56 
Аватара пользователя
Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:05 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #926360 писал(а):
Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

Пардон, поправлю

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:10 
Аватара пользователя
В варианте с суммой задача сводится к стандартному диофантову уравнению.

(Оффтоп)

И ради бога, пишите словами

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:14 
В обоих вариантах примерно одно и то же. Вариант с произведением немного интересней.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:19 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.


-- 04.11.2014, 11:21 --

provincialka в сообщении #926360 писал(а):
Так "на 34" или "в 34 раза"?

Поправил

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:32 
Аватара пользователя
Насчет кванторов - очень спорно. Все-таки естественный язык для человека более естественен, извините за каламбур. Большинство людей сначала решают задачу содержательно, а уж потом, при желении, навешивают всякие красивые значки. Вот и эта задача, как справедливо заметил nnosipov, решается по шаблону. Если этот шаблон знать или придумать.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:52 
Qazed в сообщении #926369 писал(а):
Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.

Человек думает не кванторами, а словами. На фоне же чрезмерного увлечения кванторами у вас, к сожалению, страдает логика. В частности, из $b \mid 10^ka$ не следует, что $(b \mid 10^k) \vee (b \mid a)$

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:03 
34 слишком, слишком много...

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:30 
Аватара пользователя
Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:39 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #926389 писал(а):
Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

Задача сформулирована для суммы и произведения

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:44 
Аватара пользователя
Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась :facepalm:

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:44 
Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\
ab \ge 10^{k-1}a\\
\\
\Rightarrow\\
\\
\dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:51 
Аватара пользователя
Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 12:01 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #926394 писал(а):
Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась :facepalm:

Для суммы я уже решил, здесь я спросил про произведение

-- 04.11.2014, 13:06 --

Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.
Shadow в сообщении #926395 писал(а):
Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\
ab \ge 10^{k-1}a\\
\\
\Rightarrow\\
\\
\dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

Можете пояснить для дебилов?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group