2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 09:41 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, прошу помощи в решении задачи
Цитата:
Найдите количество таких пар натуральных чисел $a$ и $b$, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа $b$, то получится число, большее произведения чисел $a$ и $b$ в 34 раза

Пусть $b$ число $k$-значное, тогда
$$ \overline{a b} = 34 a b \iff 10^k a + b = 34ab \Rightarrow 10^k a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow (10^k \vdots b \vee a \vdots b) \wedge b \vdots a \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \vee \underbrace{(a \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{2-е след.} \Rightarrow \ast_1$$
Рассматриваю подробнее 2-е следствие. В итоге получается что $a$ равно отношению чётного и нечётного числа, значит $a$ не целое.
$$(a \vdots b \wedge b \vdots a) \Rightarrow a = b \Rightarrow 10^k a + a = 34a^2 \Rightarrow 10^k + 1 = 34 a \Rightarrow a = \dfrac{10^k+1}{34} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \exists m \in \mathbb N \quad \exists x = 2m+1 \quad \exists y = 2m : a = \dfrac{x}{y} \Rightarrow a, b \notin \mathbb N \Rightarrow \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.}$$
Возвращаюсь к предыдущему рассуждению. Если $b$ кратно $a$ и $b$ не равно $a$, то $b$ строго больше $a$.
$$\ast_1 \Rightarrow \underbrace{(10^k \vdots b \wedge b \vdots a)}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{a \ne b}_\text{3-е след.} \Rightarrow 10^k \vdots b \wedge ( b \vdots a \wedge a \ne b ) \Rightarrow \underbrace{10^k \vdots b \wedge b \vdots a}_\text{1-е след.} \wedge \underbrace{b > a}_\text{4-е след.} \Rightarrow \ast_2$$
Рассматриваю подробнее 1-е и 4-е следствие. Для выполнения этих условий должна выполнятся следующая система. Степени $b$ (в разложении на 2 и 5) не превосходят значения $k$, а значения степеней $a$ не превосходят значения степеней $b$.
$$\ast_2 \Rightarrow \begin{cases} a = 2^{\alpha_1} 5^{\alpha_2} \wedge ( \alpha_1 < \beta_1 ) \wedge ( \alpha_2 < \beta_2 ) \\ b = 2^{\beta_1} 5^{\beta_2} \wedge ( \beta_1 \leqslant k ) \wedge ( \beta_2 \leqslant k ) \end{cases}$$
Помогите, пожалуйста, установить максимальное значение $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:05 
Аватара пользователя


20/06/14
236
provincialka в сообщении #926360 писал(а):
Так "на 34" или "в 34 раза"?
Кстати, ваше увлечение кванторами отнюдь не повышает желания разбираться в ваших рассуждениях.

Пардон, поправлю

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В варианте с суммой задача сводится к стандартному диофантову уравнению.

(Оффтоп)

И ради бога, пишите словами

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
В обоих вариантах примерно одно и то же. Вариант с произведением немного интересней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:19 
Аватара пользователя


20/06/14
236

(Оффтоп)

Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.


-- 04.11.2014, 11:21 --

provincialka в сообщении #926360 писал(а):
Так "на 34" или "в 34 раза"?

Поправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Насчет кванторов - очень спорно. Все-таки естественный язык для человека более естественен, извините за каламбур. Большинство людей сначала решают задачу содержательно, а уж потом, при желении, навешивают всякие красивые значки. Вот и эта задача, как справедливо заметил nnosipov, решается по шаблону. Если этот шаблон знать или придумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 10:52 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Qazed в сообщении #926369 писал(а):
Возможно ошибаюсь, но некоторые логические переходы гораздо проще воспринимать именно формализовано.

Человек думает не кванторами, а словами. На фоне же чрезмерного увлечения кванторами у вас, к сожалению, страдает логика. В частности, из $b \mid 10^ka$ не следует, что $(b \mid 10^k) \vee (b \mid a)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:03 


26/08/11
2057
34 слишком, слишком много...

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:39 
Аватара пользователя


20/06/14
236
provincialka в сообщении #926389 писал(а):
Ну, 34 не хуже любого другого... С помощью Excel нужные параметры подбираются быстро.
Другое дело, что говорить о "числе всех пар" затруднительно: оно не конечно. Подозреваю, что задача была все же об "на 34".

Задача сформулирована для суммы и произведения

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:44 


26/08/11
2057
Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\
ab \ge 10^{k-1}a\\
\\
\Rightarrow\\
\\
\dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение04.11.2014, 12:01 
Аватара пользователя


20/06/14
236
provincialka в сообщении #926394 писал(а):
Ну и решайте. Вы насколько знакомы с диофантовыми уравнениями? Например, можете решить такое: $xy - 2x + 3y = 7$? Или такое $5xy -3x+2y = 10$?

(Оффтоп)

Честно говоря, я ваше решение не читала. Убоялась :facepalm:

Для суммы я уже решил, здесь я спросил про произведение

-- 04.11.2014, 13:06 --

Shadow, верно. Я об этом думала, но как-то не довела мысль до конца. Значит, во второй задаче "число пар" тоже определяется.
Shadow в сообщении #926395 писал(а):
Извините, я может не о том, но....
$10^{k-1}\le b<10^k$

$\\ \overline{ab}=10^ka+b<10^ka+10^k\\
ab \ge 10^{k-1}a\\
\\
\Rightarrow\\
\\
\dfrac{\overline{ab}}{ab}<\dfrac{10^ka+10^k}{10^{k-1}a}=10+\dfrac{10}{a}\ldots<34$

-- 04.11.2014, 10:47 --

Я об этом: $\overline{ab}=34ab$

Можете пояснить для дебилов?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group