Напоминаю, что меня интересует КТП, а не КМ.
Если совсем по-простому пояснять, то самое главное в том, что
идеология КТП и КМ одна и та же. Поэтому и мат. аппарат в КТП во многом аналогичен КМ, и изучать их следует совместно:
0). В КлассМеханике главный герой - частица с координатой

(если задачка одномерная). В 3-мерии интересуемся 3-мерной траекторией частицы: ищем 3 координаты как функции времени,

, т.е. вычисляем радиус-вектор частицы

. Затем аналогично изучаем
системы многих частиц: множество радиус-векторов, как функции времени. Или, что эквивалентно, -
множество координатных переменных 
, где

нумерует
степени свободы системы. В конкретных задачах бывает удобно перейти к новым переменным в виде линейных комбинаций исходных (типа "нормальных координат" в задачах о малых колебаниях) или как-либо иначе ввести т.н. обобщённые координаты

. Их называют также классическими "динамическими переменными" системы.
1). В квантовой механике все

испытывают квантовые флуктуации, принципиально не описываемые траекториями

, т.е. рулит принцип неопределённости траекторий!
Поэтому в операторной формулировке КМ-теории вводятся операторы

и вводятся векторы состояния системы

, а ближайшим аналогом классических траекторий становятся средние значения

. Так делается в шредингеровском представлении.
В гейзенберговском представлении векторы состояний не зависят от времени, зато операторы зависят:

.
В представлении КМ "через интегралы по путям" каждая

в каждый момент времени считается случайной переменной. Операторы не вводятся, а разнообразные средние определяются континуальным интегрированием по этим случайным траекториям выражений типа

, где
![$S[q]$ $S[q]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/f/6efb87a94f19c2f0ec34ec4f906d543582.png)
- действие данной механической системы, взятое из КлМех-ки, с динамическими переменными

2). С этой точки зрения
теория поля отличается от механики только тем, что роль динамических переменных системы

играют числовые значения полевых функций

во всевозможных точках 3-пространства

.
Т.е. нужно самому себе почаще напоминать, что переменная

в теории поля это просто-напросто номер

динамической переменной: к любой полевой функции

надо относиться как к "координате"

, полностью аналогичной координате

в обычной механике систем
со многими степенями свободы.
В теории скалярного поля значениями

являются одиночные числа. В теории векторного поля для каждого "номера"

задаётся вектор. В теории спинорного поля - спинор; тензорного - тензор, и т.п.
Отсюда понятно, что КТП строится по аналогии с КМ. В шредингеровском представлении вместо каждой классической "координаты"

будем иметь полевой оператор

, действующий на векторы состояния поля

. Ближайшим аналогом классических значений поля

будут средние значения

.
В представлении Гейзенберга то же самое есть

; быстрейший способ получить эту формулировку КТП из соответствующей КлассТП - выполнить фурье-разложение полевых функций по плоским волнам и заменить фурье-амплитуды должным образом нормированными "операторами вторичного квантования": они будут иметь смысл операторов рождения и уничтожения квантов данного поля.
В представлении КТП "через интегралы по путям" каждая

в каждый момент времени считается случайной переменной. Операторы не вводятся, а разнообразные средние определяются интегрированием по этим случайным полевым конфигурациям выражений типа

, где
![$S[\psi]$ $S[\psi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/d/0bda456ba06893f2b4b45a1d3e4c5df482.png)
- действие данной полевой системы, взятое из КлТП, с динамическими переменными

.
Тут, правда, есть засада - трудно сочетать принципы КМ с требованием лоренц-инвариантности КТП. Очевидно, что в КМ и в теорию поля, как в разновидность механики, время

входит не симметрично с "номерами" точек 3-пространства

. Но в лоренц-инвариантные уравнения эти величины должны входить более равноправно - как компоненты одного 4-вектора. В итоге резко усложняется КТП для векторных полей: векторные полевые функции должны быть выбраны в виде 4-векторных (т.е. приходится вводить лишние, нефизические степени свободы).
Ещё засада - неопределённость КТП на сколь угодно малых расстояниях: в механике номер

пробегает конечное множество значений (число степеней свободы механической системы), а в теории поля в сколь угодно малом объёме содержится бесконечо много "номеров"

, так что в КТП имеем в любом объёме бесконечно много флуктуирующих степеней свободы

. Отсюда заморочка с УФ-расходимостями, перенормировки... Ну, а так-то, в остальном, всё хорошо, прекрасная маркиза: КТП по сути есть обычная КМ.