Получить перестановочные соотношения из лагранжиана в КТП

[Munin]

pupsik в сообщении #925339 писал(а):

Есть утверждение, что оба представления дают одинаковые пропагаторы, доказанное тупо вычислением пропагаторов для каждого способа и их сравнением, и выглядит это как случайное совпадение. Но меня интересует какая-то связь между этими представлениями, помимо равенства пропагаторов. Что, например, является состоянием? Каков физический смысл интегралов по траекториям в теории свободного электромагнитного поля?

Понятно, что вы просто недопонимаете интеграла по траекториям. Совпадение это не случайное, а закономерное. Попробуйте пройтись ещё раз внимательно по такой логической цепочке:
- принцип наименьшего действия в "механическом" виде: вариационная задача для начального и конечного условий, и произвольного конфигурационного пространства;
- принцип наименьшего действия в "полевом" виде: конфигурационное пространство есть пространство мгновенных состояний поля;
- конкретный лагранжиан электромагнитного поля;
- варьирование, и в результате уравнения Максвелла;
- задача Коши для уравнений Максвелла, вместо вариационной задачи.
Пройтись по ней стоит и вперёд, и назад. И дальше, отследить, как вся эта цепочка отражается в квантованном случае: тогда на одном её конце будет фейнмановское квантование, а на другом - каноническое. Вы разберётесь, что такое состояние, траектория, интеграл по траекториям. Увидите, что пропагаторы равны не случайно, а потому что являются решениями одних и тех же уравнений.

-- 02.11.2014 12:17:26 --

pupsik в сообщении #925353 писал(а):

Напоминаю, что меня интересует КТП, а не КМ.

Вам про КТП и говорят. Единственная упомянутая в этой теме книга по КМ - это Фейнман-Хибс.

[pupsik]

Munin в сообщении #925360 писал(а):

Пройтись по ней стоит и вперёд, и назад. И дальше, отследить, как вся эта цепочка отражается в квантованном случае: тогда на одном её конце будет фейнмановское квантование, а на другом - каноническое. Вы разберётесь, что такое состояние, траектория, интеграл по траекториям. Увидите, что пропагаторы равны не случайно, а потому что являются решениями одних и тех же уравнений.

Я могу это сделать при условии, что у нас есть некоторая система, состояние которой в классическом случае описывается каноническими переменными $q_1,\ldots,q_N,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_N$, а в квантовом - волновой функцией $\psi(q_1,\ldots,q_N)$, в этом случае мне понятен переход от интегралов по траекториям к уравнениям движения и обратно, при желании я могу записать это всё в операторном виде с перестановочными соотношениями
$[q_m(t),\dot{q}_k(t)]=i\delta_{mk}$, $[q_m(t),q_k(t)]=0$, $[\dot{q}_m(t),\dot{q}_k(t)]=0$.
Это же можно проделать для свободного электромагнитного поля, добавив к лагранжиану калибровочное слагаемое, но результат получится некрасивым и отличающимся от уравнений Максвелла, а для получения нужного результата надо изменить перестановочные соотношения (некоторым поменять знак), метрику и само понятие состояния, вот тут у меня начинается непонимание (связи интегралов по траекториям с обычным формализмом).

Munin в сообщении #925360 писал(а):

Вам про КТП и говорят. Единственная упомянутая в этой теме книга по КМ - это Фейнман-Хибс.

Насколько я помню, в упомянутом Пескине-Шрёдере вообще нет квантования электромагнитного поля каноническим способом, всё сразу определяется через интегралы по траекториям, как раз для того, чтобы не мучиться с индефинитными метриками всякими.

[Cos(x-pi/2)]

pupsik в сообщении #925353 писал(а):

Напоминаю, что меня интересует КТП, а не КМ.

Если совсем по-простому пояснять, то самое главное в том, что идеология КТП и КМ одна и та же. Поэтому и мат. аппарат в КТП во многом аналогичен КМ, и изучать их следует совместно:

0). В КлассМеханике главный герой - частица с координатой $x(t)$ (если задачка одномерная). В 3-мерии интересуемся 3-мерной траекторией частицы: ищем 3 координаты как функции времени, $x(t), \, y(t), \, z(t)$, т.е. вычисляем радиус-вектор частицы $\mathbf{r}(t)$. Затем аналогично изучаем системы многих частиц: множество радиус-векторов, как функции времени. Или, что эквивалентно, - множество координатных переменных $q_j(t)$ , где $j$ нумерует степени свободы системы. В конкретных задачах бывает удобно перейти к новым переменным в виде линейных комбинаций исходных (типа "нормальных координат" в задачах о малых колебаниях) или как-либо иначе ввести т.н. обобщённые координаты $q_j(t)$. Их называют также классическими "динамическими переменными" системы.

1). В квантовой механике все $q_j$ испытывают квантовые флуктуации, принципиально не описываемые траекториями $q_j(t)$, т.е. рулит принцип неопределённости траекторий!

Поэтому в операторной формулировке КМ-теории вводятся операторы $\hat q_j$ и вводятся векторы состояния системы $| \Psi (t) \rangle$, а ближайшим аналогом классических траекторий становятся средние значения $\langle \Psi(t)| \hat q_j | \Psi(t) \rangle$. Так делается в шредингеровском представлении.

В гейзенберговском представлении векторы состояний не зависят от времени, зато операторы зависят: $\langle \Psi| \hat q_j(t)| \Psi\rangle$.

В представлении КМ "через интегралы по путям" каждая $q_j$ в каждый момент времени считается случайной переменной. Операторы не вводятся, а разнообразные средние определяются континуальным интегрированием по этим случайным траекториям выражений типа $e^{iS/ \hbar}$, где $S[q]$ - действие данной механической системы, взятое из КлМех-ки, с динамическими переменными $q_j(t)$

2). С этой точки зрения теория поля отличается от механики только тем, что роль динамических переменных системы $q_j(t)$ играют числовые значения полевых функций $\psi (\mathbf{r},t)$ во всевозможных точках 3-пространства $\mathbf{r}$ .

Т.е. нужно самому себе почаще напоминать, что переменная $\mathbf{r}$ в теории поля это просто-напросто номер $j$ динамической переменной: к любой полевой функции $\psi (\mathbf{r},t)$ надо относиться как к "координате" $\psi_{\mathbf{r}} (t)$, полностью аналогичной координате $q_j(t)$ в обычной механике систем со многими степенями свободы.

В теории скалярного поля значениями $\psi$ являются одиночные числа. В теории векторного поля для каждого "номера" $\mathbf{r}$ задаётся вектор. В теории спинорного поля - спинор; тензорного - тензор, и т.п.

Отсюда понятно, что КТП строится по аналогии с КМ. В шредингеровском представлении вместо каждой классической "координаты" $\psi_{\mathbf{r}} (t)$ будем иметь полевой оператор $\hat \psi_{\mathbf{r}} = \hat \psi (\mathbf{r})$, действующий на векторы состояния поля $| \Psi (t) \rangle$. Ближайшим аналогом классических значений поля $\psi (\mathbf{r},t)$ будут средние значения $\langle \Psi(t)| \hat \psi (\mathbf{r}) | \Psi(t) \rangle$.

В представлении Гейзенберга то же самое есть $\langle \Psi| \hat \psi (\mathbf{r} , t) | \Psi(t) \rangle$; быстрейший способ получить эту формулировку КТП из соответствующей КлассТП - выполнить фурье-разложение полевых функций по плоским волнам и заменить фурье-амплитуды должным образом нормированными "операторами вторичного квантования": они будут иметь смысл операторов рождения и уничтожения квантов данного поля.

В представлении КТП "через интегралы по путям" каждая $\psi_{\mathbf{r}} (t)$ в каждый момент времени считается случайной переменной. Операторы не вводятся, а разнообразные средние определяются интегрированием по этим случайным полевым конфигурациям выражений типа $e^{iS/ \hbar}$, где $S[\psi]$ - действие данной полевой системы, взятое из КлТП, с динамическими переменными $\psi (\mathbf{r},t)$.

Тут, правда, есть засада - трудно сочетать принципы КМ с требованием лоренц-инвариантности КТП. Очевидно, что в КМ и в теорию поля, как в разновидность механики, время $t$ входит не симметрично с "номерами" точек 3-пространства $\mathbf{r}(t)$. Но в лоренц-инвариантные уравнения эти величины должны входить более равноправно - как компоненты одного 4-вектора. В итоге резко усложняется КТП для векторных полей: векторные полевые функции должны быть выбраны в виде 4-векторных (т.е. приходится вводить лишние, нефизические степени свободы).

Ещё засада - неопределённость КТП на сколь угодно малых расстояниях: в механике номер $j$ пробегает конечное множество значений (число степеней свободы механической системы), а в теории поля в сколь угодно малом объёме содержится бесконечо много "номеров" $\mathbf{r}$, так что в КТП имеем в любом объёме бесконечно много флуктуирующих степеней свободы $\psi_{\mathbf{r}}$. Отсюда заморочка с УФ-расходимостями, перенормировки... Ну, а так-то, в остальном, всё хорошо, прекрасная маркиза: КТП по сути есть обычная КМ.

[fizeg]

pupsik
Повторю еще раз, что обобщение прямолинейное (как об этом говорил , за тем исключением, что мера получается плохо определенной из-за УФ расходимостей. К сожалению не выдам сразу хороший источник, в котором бы это было четко выписано (кроме общих слов) но я такое видел.

Как у вас все-таки обстоят дела с каноническим квантованием полей со связями? Знакомы хотя бы с методом Дирака?

Пескин-Шредер опускает специфические для электродинамики методы и переходит сразу к Фаддееву-Попову, потому что он прямолинейно обобщается на неабелевы поля. Остальные упомянутые вами, полагаю, руководствуются тем же. Каноническое квантование именно электродинамики явно расписано в Вайнберге, на неабелевые поля обобщается довольно муторным способом. Гупта-Блейлер упоминается в Боголюбове-Ширкове, но на неабелевы поля обобщить его нереально. Некалибровочные поля квантуются канонически везде кроме Райдера.

pupsik в сообщении #925339 писал(а):

Там везде этот долбанный трюк с вакуумным состоянием, который работает только если его энергия равна нулю.

Можете уточнить, что имеете в виду?

[Munin]

pupsik в сообщении #925369 писал(а):

Это же можно проделать для свободного электромагнитного поля, добавив к лагранжиану калибровочное слагаемое, но результат получится некрасивым и отличающимся от уравнений Максвелла, а для получения нужного результата надо изменить перестановочные соотношения (некоторым поменять знак), метрику и само понятие состояния, вот тут у меня начинается непонимание (связи интегралов по траекториям с обычным формализмом).

Перестановочные соотношения для бозонного поля менять не надо. Перестановочные соотношения приходится менять для фермионных полей, это связано с тем, что классического предела у них вообще не существует. Ну что ж поделать.

Само понятие состояния - я как раз подсказал, как его осознать ещё в классическом случае, когда у нас нет ещё интегралов по траекториям, а есть вариационная задача. Если эту вариационную задачу "прочувствовать", то понятие состояния в точно таком же виде пойдёт и в квантовый случай.

pupsik в сообщении #925369 писал(а):

Насколько я помню, в упомянутом Пескине-Шрёдере вообще нет квантования электромагнитного поля каноническим способом

Ну мы уже поняли, что Пескин-Шрёдер вам не нравится. Он, действительно, в каких-то моментах "быстрый и грязный". Но вам уже достаточно других книг назвали.

-- 03.11.2014 00:45:15 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #925437 писал(а):

Т.е. нужно самому себе почаще напоминать, что переменная $\mathbf{r}$ в теории поля это просто-напросто номер $j$ динамической переменной: к любой полевой функции $\psi (\mathbf{r},t)$ надо относиться как к "координате" $\psi_{\mathbf{r}} (t)$, полностью аналогичной координате $q_j(t)$ в обычной механике систем со многими степенями свободы.

В теории скалярного поля значениями $\psi$ являются одиночные числа. В теории векторного поля для каждого "номера" $\mathbf{r}$ задаётся вектор.

То есть, "классической обобщённой координатой" становится что-то вроде $\psi_{\mathbf{r},i}(t),$ где $i$ начинает нумеровать компоненты вектора. Аналогично ставится тензорный или спинорный индекс, для других типов полей. И наконец, если мы рассматриваем систему из нескольких полей - то там же добавляется индекс, нумерующий поле.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #925688 писал(а):

То есть, "классической обобщённой координатой" становится что-то вроде $\psi_{\mathbf{r},i}(t),$ где $i$ начинает нумеровать компоненты вектора. Аналогично ставится тензорный или спинорный индекс, для других типов полей. И наконец, если мы рассматриваем систему из нескольких полей - то там же добавляется индекс, нумерующий поле.

Да, и тут надо ещё признаться (хотя язык на это неохотно поворачивается ), что компоненты спинорных "классических переменных" $\psi_{\mathbf{r},i}$ в континуальном интеграле приходится считать грассмановыми, т.е. антикоммутирующими переменными - чтобы автоматически учлась ферми-статистика. А в терминах обычных (коммутирующих) динамических переменных - да, классического предела у фермионных полей нет.

(P.S. Заодно очепятку из своего поста выше подправлю: в представлении Гейзенберга среднее значение поля $\psi$ есть $\langle \Psi| \hat \psi (\mathbf{r} , t) | \Psi \rangle$ . Копипастил при наборе текста, потому и не заметил кое-где лишний аргумент $t$).

ТС ещё спрашивал про "состояние" в КТП. В операторном формализме состояние поля $| \Psi \rangle$ лучше всего понимать как вектор состояния в "представлении чисел заполнения", т.е. - как в методе вторичного квантования в КМ. (Можно бы и как волновую функцию, но тогда она будет функцией от бесконечного количества аргументов вида $\psi_{\mathbf{r},i}$ ).

В общем случае $| \Psi \rangle$ есть линейная комбинация базисных состояний типа $|...,\, n_{\mathbf{k},i}, \, ...\rangle$. Здесь внутри дираковского символа $|...\rangle$ находится список количества квантов поля в каждой моде, т.е. - квантов каждого сорта (или поляризации) $i$ с тем или иным импульсом $\mathbf{k}$. Одно из таких базисных состояний - вакуумное состояние: $|0\,...\,0\rangle$.

В формализме "с интегралом по полям" средние определяются через вариационные производные по источникам от т.н. производящего функционала, как правило связанного с вакуумным состоянием (это амплитуда перехода из вакуума в вакуум в присутствии источников). Эту технику и её связь с операторным формализмом вряд ли можно пересказать устно; лучше без спешки разбирать со всеми подробностями конкретные модели КТП.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #925720 писал(а):

(Можно бы и как волновую функцию, но тогда она будет функцией от бесконечного количества аргументов вида $\psi_{\mathbf{r},i}$ ).

Не, ну об этом хорошо хотя бы раз в жизни помыслить.

Чтобы испугаться, пофурьять, и сбежать навсегда в уютненькое импульсное представление. Впрочем, в нелинейных полях это не спасает (а любая система полей со взаимодействием нелинейна).

[pupsik]

Итак, остановился на Вайнберге. Действительно, достаточно подробная книжка, и там описано, как получаются перестановочные соотношений из лагранжиана. Но опять же у меня остаётся непонимание с пространством состояний: как я понял, когда мы считаем интегралы по траекториям (например, для вычисления пропагатора), мы пользуемся только лагранжианом, а пространство состояний дополнительно не определяем, при этом это специальное определение пространства состояний с метрикой необходимо хотя бы для того, чтобы в пространстве вообще был вакуум. В Вайнберге для этого всего используются дополнительные трюки, т.е., вместе с лагранжианом нужно выписывать список используемых дополнительных трюков?

Поясню подробнее. Допустим, мы имеем плотность лагранжиана свободного электромагнитного поля в калибровке Фейнмана:
$L(x)=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial^{\mu} A_{\mu})^2$
где $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$
Этот лагранжиан должен иметь смысл сам по себе, потому что когда мы считаем интегралы по траекториям $A(x)$, мы никак дополнительно метрику не определяем.

Мы должны записать лагранжиан:
$L=\int \left(-\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(\mathrm{x})F^{\mu\nu}(\mathrm{x}) - \frac{1}{2}(\partial^{\mu}A_{\mu}(\mathrm{x}))^2 \right) d^3 \mathrm{x}$
Считаем, что у нас метрика (+---), точка сверху означает $\partial_0$, получаем
$L=\int \left( -\frac{1}{2} A^{\mu}(\mathrm{x}) \triangle A_{\mu}(\mathrm{x}) - \frac{1}{2}\dot{A}^{\mu}(\mathrm{x}) \dot{A}_{\mu}(\mathrm{x}) - \dot{A}^{\mu}(\mathrm{x}) \partial_{\mu} A^0(\mathrm{x}) + \dot{A}^0(\mathrm{x})\partial_{\nu}A^{\nu}(x)\right) d^3\mathrm{x}$
Мы считаем, что у нас обобщенные координаты $A^{\mu}(\mathrm{x})$, мы должны ввести канонически сопряженные импульсы:
$\pi_{\mu}(\mathrm{x}) = \frac{\delta L}{\delta \dot{A}^{\mu}(\mathrm{x})} = -\dot{A}_{\mu}(\mathrm{x}) - (1-\delta^0_{\mu})\partial_{\mu}A^0(\mathrm{x})$
и подчинить их коммутационным соотношениям
$[\pi_{\mu}(\mathrm{x}),A^{\nu}(\mathrm{y})]=-i\delta^{\nu}_{\mu} \delta(\mathrm{x}-\mathrm{y})$
Из этого сразу получаются правильные коммутационные соотношения
$[\dot{A}^{\mu}(\mathrm{x}),A^{\nu}(\mathrm{y})] = ig^{\mu\nu}\delta(\mathrm{x}-\mathrm{y})$
Но с метрикой возникают проблемы. Мы можем определить волновую функцию $\Phi[A(\cdot)]$, тогда метрика у нас будет
$\langle \Phi_1 | \Phi_2 \rangle = \int \Phi_1[A(\cdot)]^* \Phi_2[A(\cdot)] DA(\mathrm{x})$
Амплитуда перехода $\langle \Phi_2 | e^{-iH(t_2-t_1)} | \Phi_1\rangle$ будет равна с точностью до нормировочного множителя
$\int \left(\Phi_2^*[A(\cdot,t_2)] \Phi_1[A(\cdot,t_1)] \exp\left[ i \int L(x) d^4 x \right] \right) DA(x)$
(все рассматривается на области $t_1\leq x^0 \leq t_2$).
Но есть маленькая проблема: если мы имеем право считать пропагаторы (а мы их считаем как раз подобными интегралами), которые являются вакуумными спариваниями, у нас должен быть вакуум, представимый в виде волновой функции такого вида. Но если есть вакуум, то, подействовав на него оператором рождения временнОго фотона, мы получим состояние, квадрат нормы которого будет отрицателен, а у нас такого быть не может. Противоречие. Такой оператор рождения мы легко состряпаем из операторов $A^{\mu}(\mathrm{x})$ и $\pi_{\mu}(\mathrm{x})=\frac{\delta}{\delta A^{\mu}(\mathrm{x})}$

Таким образом, ещё раз вопрос: Какое право мы имеем считать фотонный пропагатор в калибровке Фейнмана через интегралы по траекториям, если у нас нет вакуума?

[espe]

pupsik в сообщении #936864 писал(а):

Но если есть вакуум, то, подействовав на него оператором рождения временнОго фотона, мы получим состояние, квадрат нормы которого будет отрицателен, а у нас такого быть не может.

Может быть такое состояние не является физическим, а для физических состояний всё в порядке?

[pupsik]

espe в сообщении #936887 писал(а):

Может быть такое состояние не является физическим, а для физических состояний всё в порядке?

А это здесь не важно. В данном случае это просто математическое доказательство несуществования вакуума в таком пространстве.

[Taus]

pupsik в сообщении #936898 писал(а):

А это здесь не важно. В данном случае это просто математическое доказательство несуществования вакуума в таком пространстве.

Нет. Вакуум электромагнитного поля определён неоднозначно, если следовать методу квантования Гупты-Блейлера свободного электромагнитного поля. Вклад в основное состояние могут вносить состояния с нулевой нормой, это связано с тем, что калибровка не фиксирует потенциал (можно добавлять слагаемые вида $\partial_\mu \Lambda(x) : \square \Lambda(x) = 0$)

[pupsik]

Помимо индефинитной метрики, есть ещё очень важный момент, опять же связанный с вакуумом и пропагаторами, который я хотел бы прояснить.

fizeg в сообщении #925559 писал(а):

pupsik в сообщении #925339 писал(а):

Там везде этот долбанный трюк с вакуумным состоянием, который работает только если его энергия равна нулю.

Можете уточнить, что имеете в виду?

Вот, например, что пишет Райдер в главе 5 ("Функциональные интегралы и квантовая механика"), параграфе 5.5 ("Другие свойства функциональных интегралов"):





Он пишет, что "остаётся только вклад основного состояния (вакуума)", при этом явно видно, что подразумевает он, что остаётся вклад состояния с $E_n=0$, хотя энергия вакуума может и не быть равной нулю.

Вот, что пишет Садовский в "Лекциях по квантовой теории поля", главе 9 ("Функциональные интегралы и квантовая механика"), её части "Некоторые свойства функциональных интегралов":





Видно, что Садовский в целом передрал у Райдера, что даже не скрывает (даже названия не поменял), но он честно написал, что выделяется состояние с $E_n=0$. Таким образом, остаётся открытым вопрос: каким образом выделяется состояние с наименьшей энергией? Лично я не вижу никакого математического механизма, позволяющего это сделать.

А вот Вайнберг поступает в томе 1, главе 9 ("Методы интегрирования по путям"), параграфе 9.2 ("Переход к S-матрице") более хитро:







Он для простого частного случая в явном виде получает формулу для вакуумного состояния, а потом использует только то, что в получившееся слагаемое бесконечно мало по модулю и имеет нужную фазу (чтобы с правильной стороны обход полюса получился). То есть, Вайнберг, во-первых, ничего не пишет про общий случай (хотя речь о нём), во-вторых, использует слишком мало информации о вакуумном состоянии, даже симметрию не использует, т.е., наверняка можно привести пример, когда состояние удовлетворяет этим свойствам, но пропагатор получается неправильный.

Иными словами, у меня сложилось такое мнение: все эти "доказательства" про получение вакуумных спариваний из интегралов по траекториям - всего лишь очередное злоупотребление Основной Теоремой Квантовой Теории Поля - теоремой Римана об условно сходящихся рядах, не более того.

-- 27.11.2014, 22:20 --

Taus в сообщении #936982 писал(а):

pupsik в сообщении #936898 писал(а):

А это здесь не важно. В данном случае это просто математическое доказательство несуществования вакуума в таком пространстве.

Нет. Вакуум электромагнитного поля определён неоднозначно, если следовать методу квантования Гупты-Блейлера свободного электромагнитного поля. Вклад в основное состояние могут вносить состояния с нулевой нормой, это связано с тем, что калибровка не фиксирует потенциал (можно добавлять слагаемые вида $\partial_\mu \Lambda(x) : \square \Lambda(x) = 0$)

Что это меняет в плане несуществования вакуума? Допустим, у нас есть вакуум $\Phi_0$ и оператор рождения временнОго фотона $C^+$. Имеем перестановочное соотношение $[C,C^+]<0$, поэтому
$\langle C^+ \Phi_0 | C^+ \Phi_0 \rangle = \langle CC^+ \Phi_0|\Phi_0\rangle = \langle (CC^+-C^+C)\Phi_0|\Phi_0 \rangle + \langle C^+ C \Phi_0 | \Phi_0 \rangle$
Первое слагаемое меньше нуля, второе равно (потому что $C\Phi_0=0$), поэтому квадрат нормы $C^+\Phi_0$ меньше нуля, а такого не бывает, если специально не определять индефинитную метрику.

[Taus]

pupsik в сообщении #937016 писал(а):

Что это меняет в плане несуществования вакуума? Допустим, у нас есть вакуум $\Phi_0$ и оператор рождения временнОго фотона $C^+$. Имеем перестановочное соотношение $[C,C^+]<0$, поэтому
$\langle C^+ \Phi_0 | C^+ \Phi_0 \rangle = \langle CC^+ \Phi_0|\Phi_0\rangle = \langle (CC^+-C^+C)\Phi_0|\Phi_0 \rangle + \langle C^+ C \Phi_0 | \Phi_0 \rangle$
Первое слагаемое меньше нуля, второе равно (потому что $C\Phi_0=0$), поэтому квадрат нормы $C^+\Phi_0$ меньше нуля, а такого не бывает, если специально не определять индефинитную метрику.

Это не означает, что вакуум не существует. Это означает, что состояние $C^+|\Phi_0\rangle$ является нефизичным. Такие состояния по определению не рассматриваются, так как не удовлетворяют слабому условию Ферми.

[pupsik]

Taus, прочитайте, пожалуйста, сообщение с вопросом
post936864.html#p936864
(дабы отвечать на этот вопрос, а не на сферический в вакууме)

[fizeg]

pupsik в сообщении #936864 писал(а):

вместе с лагранжианом нужно выписывать список используемых дополнительных трюков?

Разумеется! Потому что если просто написать $\int D\Phi e^{iS(\Phi)}$, то само по себе это черт знает что. Это всегда как-то завязано на операторный формализм, благодаря чему можно оправдать ряд трюков, которые потом можно использовать обращаясь с этим интегралом как с некоторым символом. В учебниках дают уже сами трюки, потому что цель - научить студента базовым методам.

Ну последуйте наконец моему совету и начните полноценно разбираться с системами со связями (и начав не с теорий поля, а обычной механики), а только потом доказывайте несуществование вакуума в калибровочных теориях. На то, чтобы понять как вообще себя с ними вести, люди потратили не один десяток лет, так что это все непросто.

Вас не смущает, когда например у Садовского в равенстве (9.90) слева стоит предел $T$ в бесконечность, а справа стоит формула, включающая $T$? Дело в том, что для $E_0\neq 0$ это в действительности не равенство. Это утверждение об асимптотике, что конструкция слева ведет асимптотически как штука справа, т.е. все кроме штуки справа в этом пределе пренебрежимо мало. Если бы авторы не были неряшливыми, они могли бы использовать другой символ, например $\sim$, где
$f(T)\sim g(T) (T\rightarrow+\infty) \Leftrightarrow \lim\limits_{T\rightarrow+\infty} \frac{f(T)}{g(T)}=1$

При этом равенство (9.91) уже честное.

Так что основное состояние выделяется тем, что вклады всех остальных состояний в этом пределе оказываются пренебрежимо малы в сравнении с вкладом основного состояия. Оно либо убывает медленнее всех... либо растет быстрее всех.

Практически любое утверждение, где говорится, что что-то "примерно равно" или фигурируют "положительные инфинитезимальные величины", следует понимать именно в таком смысле. То же самое с рядами теории возмущений (и это касается не только КТП, но и практически любой теории возмущений) Чаще всего эти ряды оказываются с нулевым радиусом сходимости. Но как асимптотические ряды они имеют смысл.

Если бы Вайнберг всегда расписывал бы общие случаи, у него получился бы не трехтомник, а стотомник. А иногда у авторов учебников есть более важные вещи. Обычно он только демонстрирует идею доказательства в простом случае, а подробно (как я уже говорил) надо смотреть в литературе.