Язык кванторов

[arseniiv]

Вы используете $\sqsupset$ для замены слова «предположим»? Не стоит. Это не распространено, в частности потому что не несёт никакой смысловой нагрузки, а вид загромождает.

Потом надо что-то сделать с отношением делимости — вложить в \mathrel{ } для расстановки пробелов и, возможно, отцентрировать по вертикали. Глаз ломает.

«Докажите $a\mathrel{\vdots}c \vee b\mathrel{\vdots}c \Rightarrow a \cdot b \mathrel{\vdots}c$.»
[Посмотрите, как общепринятый приоритет операций сокращает количество скобок: у $\Rightarrow$ он ниже, чем у $\vee$, у умножения он всяко выше, чем у логических связок, потому что может соединять только термы.]

В доказательстве лучше использовать слова, потому что на полпути между понятным и формальным стоять как-то непрактично — и не поймут, и недостаточно строго.

-- Чт окт 30, 2014 00:03:20 --

P. S. Нет, эти точки по-любому надо центрировать. Ужасно.

[Munin]

$a\mathrel{\vdots}b$

$a\overset{\cdot}{:}b$

$a\mathrel{\mathaccent \cdot :}b$

$a\underset{\cdot}{\overset{\cdot}{\cdot}}b$

$a\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}b$ <- я за этот вариант. Предложите его включить в FAQ по математическим символам.

-- 29.10.2014 23:01:36 --

Ну и в конце концов, всегда можно записать вместо $a\mathrel{\raisebox{-0.5ex}{\vdots}}b$ наоборот $b\mid a.$

[Qazed]

Всем спасибо за ответы

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы вопрос:
Как записать основную теорему арифметики?
$\forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_q^{k_q}$
Спасибо

[arseniiv]

Давайте запишем её сначала словами, потом доведём формулировку до ясности, и только тогда сделаем формулу.

В текущей несколько проблем. Например, что такое $p_i$? Это может быть как и неудачным обозначением последовательности из простых чисел, но тогда она никак не ${}\in\mathbb P$, так и обозначением элемента этой последовательности, но тогда что такое $i$? То же самое с $k_i$, ну и ещё $q$.

[Qazed]

arseniiv в сообщении #925106 писал(а):

Давайте запишем её сначала словами, потом доведём формулировку до ясности, и только тогда сделаем формулу.

В текущей несколько проблем. Например, что такое $p_i$? Это может быть как и неудачным обозначением последовательности из простых чисел, но тогда она никак не ${}\in\mathbb P$, так и обозначением элемента этой последовательности, но тогда что такое $i$? То же самое с $k_i$, ну и ещё $q$.

Любое натуральное число большее 1 можно разложить в произведение простых чисел, причём такое разложение единственно с точностью до порядка сомножителей

[arseniiv]

Теперь попробуйте определить, что такое разложение. Это могло бы быть подмножество $A\subset\mathbb P$, и «с точностью до порядка» здесь уже учтено — но нет никакой информации о степенях простых множителей. Как бы исправить?

[Qazed]

arseniiv в сообщении #925117 писал(а):

Теперь попробуйте определить, что такое разложение. Это могло бы быть подмножество $A\subset\mathbb P$, и «с точностью до порядка» здесь уже учтено — но нет никакой информации о степенях простых множителей. Как бы исправить?

"Можно разложить ..." в данном случае, означает, "можно представить как ...", т. е. "Существую простые числа такие, что любое натуральное число большее 1 можно представить как их произведение"

[arseniiv]

Это ясно. Но в разных случаях этих чисел может быть разное количество — то одно, а то 183004. Формула не может иметь то одну, то 183004 переменных, обозначающих простые числа. Раз теория множеств здесь как данность, стоит попробовать собрать эти числа в какой-то один объект. В множество эти простые числа собрать не выйдет — неизвестны будут степени множителей в разложении. Надо как-то их добавить — как?

[Qazed]

arseniiv в сообщении #925167 писал(а):

Это ясно. Но в разных случаях этих чисел может быть разное количество — то одно, а то 183004. Формула не может иметь то одну, то 183004 переменных, обозначающих простые числа. Раз теория множеств здесь как данность, стоит попробовать собрать эти числа в какой-то один объект. В множество эти простые числа собрать не выйдет — неизвестны будут степени множителей в разложении. Надо как-то их добавить — как?

Формула может иметь хоть миллион простых чисел, главное, чтоб степени были соответствующие.
$2 = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \cdot ... \cdot 1000000000000000000000^0 \quad \equiv \quad 2 = 2^1$
Я прописал, что показатель степени может быть нулевым.

[arseniiv]

Qazed в сообщении #925177 писал(а):

Формула может иметь хоть миллион простых чисел, главное, чтоб степени были соответствующие.

Вот именно. И мы не можем написать $\exists p_1\in\mathbb P\;\exists p_2\in\mathbb P\cdots\exists p_{1000000}\in\mathbb P$, потому что найдётся натуральное число, раскладывающееся в произведение 1000001 простого. Потому надо найти такое множество, чтобы обойтись одним квантором на все случаи жизни: $\exists x\in{?}$. Элементы множества ? должны соответствовать разложениям. Что можно взять в качестве этого множества?

-- Вс ноя 02, 2014 00:55:47 --

(Похоже, я веду куда-то не туда… )

[Qazed]

arseniiv в сообщении #925181 писал(а):

Qazed в сообщении #925177 писал(а):

(Похоже, я веду куда-то не туда… )

Похоже, я дебил. Ей-богу, Вас не понимаю.

[Mysterious Light]

Qazed, в Вашей формуле есть буквы $i$ и $q$, которые не связаны никаким квантором. Такие буквы называются свободными. В теоремах свободные буквы (кроме констант) не приняты, если можно пользоваться квантором всеобщности. Поэтому либо перефразируйте теорему, либо поставьте недостающие кванторы.
Ещё у Вас есть многоточие.

arseniiv, Ваше решение предполагает использование конструкции $\prod_{x\in X} f(x)$? Как Вы её определяете? Более общно, как формально определить такую конструкцию для любой коммутативной ассоциативной операции с единицей, т.е. для любого коммутативного моноида? $X$ полагается конечным. Через введение порядка на $X$? Или как-то по-другому?

[arseniiv]

Mysterious Light в сообщении #925219 писал(а):

arseniiv, Ваше решение предполагает использование конструкции $\prod_{x\in X} f(x)$?

Ага.

Mysterious Light в сообщении #925219 писал(а):

Как Вы её определяете? Более общно, как формально определить такую конструкцию для любой коммутативной ассоциативной операции с единицей, т.е. для любого коммутативного моноида? $X$ полагается конечным. Через введение порядка на $X$? Или как-то по-другому?

Согласен с порядком, хотя можно написать что-то типа (пусть $p(A) := \prod_{x\in A} f(x)$)

$$\begin{array}{l} p(\varnothing) = 1, \\ p(A)p(B) = p(A\cup B)p(A\cap B), \end{array}$$

и попробовать доказать, что для любого конечного $A$ и данной $f\colon A\to\text{к. мон.}$ такое значение $p(A)$ существует и единственно. Как будто нетрудно должно быть.

-- Вс ноя 02, 2014 03:52:37 --

Здесь можно пойти конструктивнее и рассматривать как разложения $\{c\in\mathbb P^* : \forall i\in2..|c| \;\; c_{i-1} \leqslant c_i\}$, раз уж порядок есть.

[Qazed]

Qazed в сообщении #925103 писал(а):

$\forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_q^{k_q}$

Спасибо за ответы, попробую записать по-другому

$$\forall n > 1 \quad \forall n \in \mathbb N \quad \exists p_i \in \mathbb P \quad \exists k_i \in \mathbb N_0 : n = \prod_{i=0}^q p_i^{k_i}$$

Вот не знаю, как связать $q, i$