2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 03:59 


30/10/14

19
ИСН в сообщении #924081 писал(а):
На политических форумах часто можно увидить диванных вояк. А по ссылке я увидел диванных интеграторов. :lol:
По сути - не вижу причин, чтобы это решалось элементарными методами или выражалось как-то прилично, но всё бывает, надо смотреть.

Если решение СЛАУ можно отнести к элементарным методам, то обозначим объёмы сегментов отсекаемых плоскостями:$A,B$, а объёмы этих сегментов за исключением области их пересечения $a,b$ соответственно. Объём области пересечения сегментов обозначим как $c$. Имеет место быть бесконечное множество уравнений:
$a+b+2c=A+B$
$2a+b+3c=2A+B$
$3a+b+4c=3A+B$
...'........
$a+2b+3c=A+2B$
................
Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Bartini в сообщении #924322 писал(а):
Имеет место быть бесконечное множество уравнений:
$a+b+2c=A+B$
$2a+b+3c=2A+B$
$3a+b+4c=3A+B$
...'........
$a+2b+3c=A+2B$
................
Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.

Запишите здесь 3 уравнения, которые бы выбрали Вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 07:54 


29/10/14
21
ИСН в сообщении #924300 писал(а):
Ну вот формула:
$\begin{array}{l}
{R^3\over3}\left(
{\pi\over2}
+2ab\sqrt{1-a^2-b^2}
-a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ 
\left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2}
+\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)}
\right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

Благодарю Вас за формулу - она работает.
Теперь бы разобраться как вывести такую красоту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #924300 писал(а):
$\begin{array}{l}
{R^3\over3}\left(
{\pi\over2}
+2ab\sqrt{1-a^2-b^2}
-a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ 
\left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2}
+\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)}
\right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

К сожалению, формула не помогает, от неё становится только хуже, особенно от последнего слагаемого.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.10.2014, 09:13 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

vadulik
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.10.2014, 11:16 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 11:22 


29/10/14
21
TOTAL в сообщении #924338 писал(а):

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #924300 писал(а):
$\begin{array}{l}
{R^3\over3}\left(
{\pi\over2}
+2ab\sqrt{1-a^2-b^2}
-a(3-a^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-a^2}-\right. \\ 
\left.\phantom{R^3\over3(-}-b(3-b^2)\arcsin\sqrt{1-a^2-b^2\over1-b^2}
+\arcsin{1-a^2-b^2-a^2b^2\over(1-a^2)(1-b^2)}
\right)\end{array}$
(Здесь $a={H_1\over R},\;b={H_2\over R}$.)
Нравится? Нет? Почему?

К сожалению, формула не помогает, от неё становится только хуже, особенно от последнего слагаемого.


Что значит формула не помогает? Чему или кому?
Я проверил работоспособность формулы - результат вычисления объёма по этой формуле совпадает с объёмом который "выдаёт" Компас 3D

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 11:31 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
vadulik в сообщении #924376 писал(а):
Что значит формула не помогает? Чему или кому?
Это значит, что эта формула — квинтэссенция боли, что в свою очередь мешает решать задачу элементарными методами.
Bartini в сообщении #924322 писал(а):
Правые части уравнений известны, поэтому достаточно выбрать 3 уравнения, чтобы выразить из них искомую величину.
:lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вывести просто: двойной интеграл взять. Разумеется, большую часть работы я делал не руками. Можно ли упростить? Наверное, можно, но лишь чуть-чуть, и то я сейчас не соображу, как.
Вопрос о школьных методах, кажется, уже занесло опавшими листьями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 12:05 


14/01/11
3066
ИСН, в чём считали, если не секрет? У меня mathematica наотрез отказалась его считать, maxima считает, но выдаёт странное. Или это я выдаю странное? Вроде должен быть такой интеграл:
$$2\int\limits_{H_1}^{\sqrt{R^2-H_2^2}}dx \int\limits_{H_2}^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 12:18 


29/10/14
21
ИСН в сообщении #924385 писал(а):
Вопрос о школьных методах, кажется, уже занесло опавшими листьями.


я уже тоже склоняюсь к такому мнению

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Sender в сообщении #924397 писал(а):
Вроде должен быть такой интеграл
Да, именно такой, и - в Математике. Да, она не считает его в лоб. Но можно взять внутренний интеграл как неопределённый, а потом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 13:45 


30/10/14

19
Предлагаю рассмотреть следующую систему обозначений, разобьем шар на 4 части двумя перпендикулярными плоскостями:
V-Объём шара,
A- объем большего сегмента, отсекаемых одной плоскостью
B- объем меньшего сегмента, отсекаемых второй плоскостью
c- область пересечения сегментов A,B,
а- объем большего сегмента за вычетом области пересечения,
b- объём меньшего сегмента,за вычетом области пересечения,
d- объём элемента диагонального к элементу c
И систему уравнений:
$a+c=A$
$b+c=B$
$d+b=V-A$
$d+a=V-B$
$a+b+c+d=V$
Очевидно справедливо следующее уравнение:
$2a+b-c=V-B$
Из системы следует:
$d+c=a+b$
Т.е. сумма диагональных частей такого разбиения всегда равна половине объёма шара.
Далее наверное просто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Да-да, конечно. Наверное. Наверное, скоро я ощущу этот неземной вкус локтя во рту. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти объём выреза (школьная олимпиадная задача)
Сообщение30.10.2014, 14:29 


30/10/14

19
А вот он и локоть:
$c=\frac{A+B}{2}-\frac{V}{4}$
Правда чужой локоть во рту может оказаться не столь приятным:)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group