Группа

[RrX]

Доказать, что всякая группа простого порядка — циклическая и любой элемент в ней, отличный от e, является образующим.

Пусть $p$ - простой порядок данной группы $G$.
По теорема Лагранжа у этой группы будет только две подгруппы - $\{e\}$ и она сама.
Т.е. не будет такой циклической подгруппы, имеющей порядок, отличный от $p$, т.е. не будет такого элемента $a \ne e$, что $a$ имеет порядок, отличные от $n$.

А как доказать, что она циклическая? Типа, любая группа конечного порядка является циклической?

P.S. Здесь $e$ - единичный элемент группы.

[Sonic86]

RrX в сообщении #923527 писал(а):

А как доказать, что она циклическая?

Просто прочитайте определение циклической группы и увидите, что Вы уже фактически все доказали.

RrX в сообщении #923527 писал(а):

Типа, любая группа конечного порядка является циклической?

ничего подобного, группа перестановок $S_3$ множества из 3-х объектов не циклична.

[RrX]

Цитата:

Просто прочитайте определение циклической группы и увидите, что Вы уже фактически все доказали.

Из моего пособия:
Циклическая группа порядка $n$ - группа типа $\{e, a, a^{2}, ... a^{n-1}\}$, где $a$- образующий элемент.
Всё равно непонятно.
Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.

[mustitz]

RrX в сообщении #923550 писал(а):

Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.

Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.

[ИСН]

Нет такого понятия "представить в виде образующего". Он (каждый элемент) или образующий, или нет. Образующий он или нет?

[RrX]

mustitz в сообщении #923553 писал(а):

RrX в сообщении #923550 писал(а):

Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.

Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.

Не знаю, мне на ум приходит только ограниченность, но тут уже сказали, что это ничего не значит.

-- 27.10.2014, 19:12 --

ИСН, хмм, ну в группе определена операция $aa = a^{2}$.
Т.е. пусть группа $G$ состоит из 5-ти элементов: $\{e,a,b,c,d\}$. Тогда на группе должна быть определена операция $aa$, следовательно, $a^3$ и так бесконечно.
Но т.к. группа порядка $p$, то $a^{5} = e$.
И так с любым элементом.
Но я отталкиваюсь от конечного числа элементов, а не от простоты числа.

-- 27.10.2014, 19:13 --

Цитата:

ничего подобного, группа перестановок $S_3$ множества из 3-х объектов не циклична.

Я в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?

[Sonic86]

RrX в сообщении #923559 писал(а):

в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?

Чего? Конечно не в любой степени.
Перечитайте определение циклической группы, внимательно. Никто Вас никуда не торопит.

RrX в сообщении #923559 писал(а):

в группе определена операция $aa = a^{2}$.

Формула и текст не связаны совершенно. Любая формула операцией не является.

RrX в сообщении #923559 писал(а):

операция $aa$

это тоже не операция.

RrX в сообщении #923550 писал(а):

Циклическая группа порядка $n$ - группа типа $\{e, a, a^{2}, ... a^{n-1}\}$, где $a$- образующий элемент.

Ну

[mustitz]

RrX в сообщении #923559 писал(а):

mustitz в сообщении #923553 писал(а):

Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.

Не знаю, мне на ум приходит только ограниченность, но тут уже сказали, что это ничего не значит.

А теорема Лагранжа?

[Sonic86]

(Оффтоп)

mustitz в сообщении #923563 писал(а):

А теорема Лагранжа?

А зачем теорема Лагранжа? Достаточно определения.

[Nemiroff]

RrX в сообщении #923559 писал(а):

Я в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?

Это невозможно.

[RrX]

Цитата:

это тоже не операция.

Имел в виду "существует такой элемент".

Цитата:

Чего? Конечно не в любой степени.

Точно, они же являются инволюциями?
Sonic86, ну, прочитал. Каждый элемент является степенью образующего, а порядок образующего элемент равен порядку группы.

[Sonic86]

RrX в сообщении #923568 писал(а):

Sonic86, ну, прочитал.

Вот Вы пишете:

RrX в сообщении #923527 писал(а):

т.е. не будет такого элемента $a \ne e$, что $a$ имеет порядок, отличные от $n$.

Здесь неявно говорится о некотором объекте, из существования которого следует цикличность группы. (ну сначала надо отрицание внести, конечно)

RrX в сообщении #923568 писал(а):

Точно, они же являются инволюциями?

не все

[RrX]

Sonic86, но из этого ведь не следует, что существует элемент с порядком $n$.

[ИСН]

Вот мы добрались до сути. А с каким порядком элемент существует? Какой-то порядок же у него (у каждого) обязан быть?

[RrX]

ИСН, да, порядок $n$.

-- 27.10.2014, 19:59 --

Т.е. так всё просто?