2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Группа
Сообщение27.10.2014, 16:54 
Доказать, что всякая группа простого порядка — циклическая и любой элемент в ней, отличный от e, является образующим.

Пусть $p$ - простой порядок данной группы $G$.
По теорема Лагранжа у этой группы будет только две подгруппы - $\{e\}$ и она сама.
Т.е. не будет такой циклической подгруппы, имеющей порядок, отличный от $p$, т.е. не будет такого элемента $a \ne e$, что $a$ имеет порядок, отличные от $n$.

А как доказать, что она циклическая? Типа, любая группа конечного порядка является циклической?

P.S. Здесь $e$ - единичный элемент группы.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 17:10 
RrX в сообщении #923527 писал(а):
А как доказать, что она циклическая?
Просто прочитайте определение циклической группы и увидите, что Вы уже фактически все доказали.

RrX в сообщении #923527 писал(а):
Типа, любая группа конечного порядка является циклической?
ничего подобного, группа перестановок $S_3$ множества из 3-х объектов не циклична.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 17:51 
Цитата:
Просто прочитайте определение циклической группы и увидите, что Вы уже фактически все доказали.

Из моего пособия:
Циклическая группа порядка $n$ - группа типа $\{e, a, a^{2}, ... a^{n-1}\}$, где $a$- образующий элемент.
Всё равно непонятно.
Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 17:56 
RrX в сообщении #923550 писал(а):
Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.


Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:05 
Аватара пользователя
Нет такого понятия "представить в виде образующего". Он (каждый элемент) или образующий, или нет. Образующий он или нет?

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:08 
mustitz в сообщении #923553 писал(а):
RrX в сообщении #923550 писал(а):
Надо доказать, что каждый элемент можно представить в виде какого-то образующего.


Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.


Не знаю, мне на ум приходит только ограниченность, но тут уже сказали, что это ничего не значит.

-- 27.10.2014, 19:12 --

ИСН, хмм, ну в группе определена операция $aa = a^{2}$.
Т.е. пусть группа $G$ состоит из 5-ти элементов: $\{e,a,b,c,d\}$. Тогда на группе должна быть определена операция $aa$, следовательно, $a^3$ и так бесконечно.
Но т.к. группа порядка $p$, то $a^{5} = e$.
И так с любым элементом.
Но я отталкиваюсь от конечного числа элементов, а не от простоты числа.

-- 27.10.2014, 19:13 --

Цитата:
ничего подобного, группа перестановок $S_3$ множества из 3-х объектов не циклична.

Я в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:17 
RrX в сообщении #923559 писал(а):
в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?
Чего? :shock: Конечно не в любой степени.
Перечитайте определение циклической группы, внимательно. Никто Вас никуда не торопит.

RrX в сообщении #923559 писал(а):
в группе определена операция $aa = a^{2}$.
Формула и текст не связаны совершенно. Любая формула операцией не является.

RrX в сообщении #923559 писал(а):
операция $aa$
это тоже не операция.

RrX в сообщении #923550 писал(а):
Циклическая группа порядка $n$ - группа типа $\{e, a, a^{2}, ... a^{n-1}\}$, где $a$- образующий элемент.
Ну

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:18 
RrX в сообщении #923559 писал(а):
mustitz в сообщении #923553 писал(а):
Или надо доказать, что если взять любой $a \ne e$, то он образует всю группу.


Не знаю, мне на ум приходит только ограниченность, но тут уже сказали, что это ничего не значит.


А теорема Лагранжа?

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:19 

(Оффтоп)

mustitz в сообщении #923563 писал(а):
А теорема Лагранжа?
:shock: А зачем теорема Лагранжа? Достаточно определения.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:21 
RrX в сообщении #923559 писал(а):
Я в смущении, получается, в данной группе порядок 6, но любой её элемент в любой натуральной степень даёт сам себя?
Это невозможно.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:31 
Цитата:
это тоже не операция.

Имел в виду "существует такой элемент".
Цитата:
Чего? :shock: Конечно не в любой степени.

Точно, они же являются инволюциями?
Sonic86, ну, прочитал. Каждый элемент является степенью образующего, а порядок образующего элемент равен порядку группы.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:36 
RrX в сообщении #923568 писал(а):
Sonic86, ну, прочитал.
Вот Вы пишете:
RrX в сообщении #923527 писал(а):
т.е. не будет такого элемента $a \ne e$, что $a$ имеет порядок, отличные от $n$.
Здесь неявно говорится о некотором объекте, из существования которого следует цикличность группы. (ну сначала надо отрицание внести, конечно)

RrX в сообщении #923568 писал(а):
Точно, они же являются инволюциями?
не все

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:41 
Sonic86, но из этого ведь не следует, что существует элемент с порядком $n$.

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:42 
Аватара пользователя
Вот мы добрались до сути. А с каким порядком элемент существует? Какой-то порядок же у него (у каждого) обязан быть?

 
 
 
 Re: Группа
Сообщение27.10.2014, 18:44 
ИСН, да, порядок $n$.

-- 27.10.2014, 19:59 --

Т.е. так всё просто?

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group