Две формы асимптотического закона распред. простых чисел

[Vitaliy4us]

Уравнения $\pi(x) \thicksim \frac{x}{\ln x}$ и $p_n = n \ln n$ выражают асимптотический закон распределения простых чисел. Как от второго перейти к первому? Доказательство, предлагаемое в книге Чадрасекхарана выглядит полным бредом (скрин прилагается)
[img=http://i9.pixs.ru/storage/2/6/1/ChandraJPG_3460144_14439261.jpg]

[ex-math]

Что именно не устраивает?

[Vitaliy4us]

Я не понимаю, откуда следует что ln x = ln y. Ведь y=pi(x)=n и, следовательно, ln y = ln pi(x) = ln n ну никак не ln x.

[ex-math]

Наберите формулы в ТЕХ, а то Вас отругают.

Раз $x\sim y\ln y$, то $\frac{x}{y\ln y}\to1$. Значит, логарифмируя, имеем $\ln x-\ln y-\ln\ln y\to0$ и $\frac{\ln x}{\ln y}-\frac{\ln\ln y}{\ln y}\to1$. Так как $y\to\infty$, то второе слагаемое стремится к нулю и $\ln x\sim\ln y$.

[Vitaliy4us]

не было такого условия, что $y \rightarrow \infty$

[ex-math]

А $x\to\infty$ было? Раз уж мы об асимптотиках говорим.
Так вот $y=\pi(x)$, значит и $y\to\infty$.

[Vitaliy4us]

Спасибо, конечно, но пока до конца не прояснилось. Попробую переварить.

-- 26.10.2014, 10:28 --

Наверное, Вы правы с той точки зрения, что $p_n \thicksim n\ln n$ тем более справедливо, чем более мы будем удаляться в бесконечность. Спасибо еще раз. С другой стороны, не могли бы Вы пояснить, почему мы полагаем $x \thicksim y \ln y$?

[ex-math]

Там действительно немного неряшливо написано. Попробуйте все эквивалентности переписать как пределы. Начать лучше так: для любого $x$ существует $n=\pi(x)$ такое, что $p_n\leqslant x<p_{n+1}$. Дальше поделить это на $n\ln n$ и пользоваться предположением об асимптотике $p_n$ и свойствами пределов.

-- 26.10.2014, 12:38 --

Вот как раз оттуда и получится $x\sim y\ln y$. Знаете, есть такая "теорема о двух милиционерах".
Я надеюсь, Вы книгу с начала читали. Если и при чтении подряд проблемы с асимптотиками, то лучше почитать и порешать что-то по анализу, так как свободное обращение с $O,o,\sim$ подразумевается.

[Lia]

Vitaliy4us
Замечание за неоформление формул $\TeX$. post923043.html#p923043

[Vitaliy4us]

Т.е. примерно так?

$p_n \le x < p_{n+1}$

$\frac{p_n}{n \ln n} \le \frac{x}{n \ln n} < \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$

т.к. $\frac{p_n}{n \ln n} \thicksim \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$ и $p_n \thicksim n \ln n$ то $\frac{x}{n \ln n} \thicksim 1$

логарифмируя последнее выражение получаем $\ln x - \ln n - \ln\ln n \thicksim 0$

$\ln x - \ln\ln n \thicksim \ln n$

$\frac{\ln x}{\ln n} - \frac{\ln\ln n}{\ln n} \thicksim 1$

при $n \rightarrow \infty$ имеем $\frac {\ln\ln n}{\ln n} \rightarrow 0$

тогда $\frac{\ln x}{\ln n} \thicksim 1$ или $\ln x \thicksim \ln n$

$\frac{x}{n \ln x} \thicksim 1$ или $n \thicksim \frac{x}{\ln x}$ что равносильно $\pi(x) \thicksim \frac{x}{\ln x}$

[ex-math]

Vitaliy4us в сообщении #923107 писал(а):

т.к. $\frac{p_n}{n \ln n} \thicksim \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$

т.к. $n\ln n\sim(n+1)\ln(n+1)$

-- 26.10.2014, 21:40 --

$\sim0$ так вообще нельзя писать. Посмотрите выше, я это место подробно расписал.

[Vitaliy4us]

Спасибо за помощь.