2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 09:53 


01/04/13
7
Уравнения $\pi(x) \thicksim \frac{x}{\ln x}$ и $p_n = n \ln n$ выражают асимптотический закон распределения простых чисел. Как от второго перейти к первому? Доказательство, предлагаемое в книге Чадрасекхарана выглядит полным бредом (скрин прилагается)
[img=http://i9.pixs.ru/storage/2/6/1/ChandraJPG_3460144_14439261.jpg]

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Что именно не устраивает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 10:25 


01/04/13
7
Я не понимаю, откуда следует что ln x = ln y. Ведь y=pi(x)=n и, следовательно, ln y = ln pi(x) = ln n ну никак не ln x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Наберите формулы в ТЕХ, а то Вас отругают.

Раз $x\sim y\ln y$, то $\frac{x}{y\ln y}\to1$. Значит, логарифмируя, имеем $\ln x-\ln y-\ln\ln y\to0$ и $\frac{\ln x}{\ln y}-\frac{\ln\ln y}{\ln y}\to1$. Так как $y\to\infty$, то второе слагаемое стремится к нулю и $\ln x\sim\ln y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 11:15 


01/04/13
7
не было такого условия, что $y \rightarrow \infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А $x\to\infty$ было? Раз уж мы об асимптотиках говорим.
Так вот $y=\pi(x)$, значит и $y\to\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 11:24 


01/04/13
7
Спасибо, конечно, но пока до конца не прояснилось. Попробую переварить.

-- 26.10.2014, 10:28 --

Наверное, Вы правы с той точки зрения, что $p_n \thicksim n\ln n$ тем более справедливо, чем более мы будем удаляться в бесконечность. Спасибо еще раз. С другой стороны, не могли бы Вы пояснить, почему мы полагаем $x \thicksim y \ln y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Там действительно немного неряшливо написано. Попробуйте все эквивалентности переписать как пределы. Начать лучше так: для любого $x$ существует $n=\pi(x)$ такое, что $p_n\leqslant x<p_{n+1}$. Дальше поделить это на $n\ln n$ и пользоваться предположением об асимптотике $p_n$ и свойствами пределов.

-- 26.10.2014, 12:38 --

Вот как раз оттуда и получится $x\sim y\ln y$. Знаете, есть такая "теорема о двух милиционерах".
Я надеюсь, Вы книгу с начала читали. Если и при чтении подряд проблемы с асимптотиками, то лучше почитать и порешать что-то по анализу, так как свободное обращение с $O,o,\sim$ подразумевается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 13:09 


20/03/14
12041
 !  Vitaliy4us
Замечание за неоформление формул $\TeX$. post923043.html#p923043

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 13:35 


01/04/13
7
Т.е. примерно так?

$p_n \le x < p_{n+1}$

$\frac{p_n}{n \ln n} \le \frac{x}{n \ln n} < \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$

т.к. $\frac{p_n}{n \ln n} \thicksim \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$ и $p_n \thicksim n \ln n$ то $\frac{x}{n \ln n} \thicksim 1$

логарифмируя последнее выражение получаем $\ln x - \ln n - \ln\ln n \thicksim 0$

$\ln x - \ln\ln n \thicksim \ln n$

$\frac{\ln x}{\ln n} - \frac{\ln\ln n}{\ln n} \thicksim 1$

при $n \rightarrow \infty$ имеем $\frac {\ln\ln n}{\ln n} \rightarrow 0$

тогда $\frac{\ln x}{\ln n} \thicksim 1$ или $\ln x \thicksim \ln n$

$\frac{x}{n \ln x} \thicksim 1$ или $n \thicksim \frac{x}{\ln x}$ что равносильно $\pi(x) \thicksim \frac{x}{\ln x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение26.10.2014, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Vitaliy4us в сообщении #923107 писал(а):
т.к. $\frac{p_n}{n \ln n} \thicksim \frac{p_{n+1}}{n \ln n}$
т.к. $n\ln n\sim(n+1)\ln(n+1)$

-- 26.10.2014, 21:40 --

$\sim0$ так вообще нельзя писать. Посмотрите выше, я это место подробно расписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две формы асимптотического закона распред. простых чисел
Сообщение27.10.2014, 08:16 


01/04/13
7
Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group