Аппроксимация кусочно-линейной непрерывной функцией

[{0}]

Пусть имеется набор экспериментальных данных из N точек. Требуется построить непрерывную кусочно-линейную функцию с узлами заданными в других точках наиболее близкую к исходному набору точек, т.е. с минимальной суммой квадратов отклонений. Я так понимаю, это задача для МНК, её можно решить аналитически или нужно писать итерационный процесс?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

{0}
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
возвращено

[Александрович]

{0} в сообщении #919466 писал(а):

Я так понимаю, это задача для МНК, её можно решить аналитически или нужно писать итерационный процесс?

Зависит от того какой вид имеет аппроксимирующая функция.

[{0}]

Так вроде написано, что непрерывная кусочно-линейная (т.е. ломаная). Точки интервалов линейности определяются произвольно (в крайнем случае можно считать, что берётся часть точек исходного набора).

[Александрович]

Тогда решается аналитически.

[{0}]

Не подскажете как?

[Александрович]

Аппроксимацию линейной функцией освоили?

[{0}]

Да.

[arseniiv]

{0} в сообщении #919513 писал(а):

Точки интервалов линейности определяются произвольно (в крайнем случае можно считать, что берётся часть точек исходного набора).

Т. е. минимум ищется только среди функций на уже выбранных точках, а не среди, скажем, всех кусочно-линейных с данным числом узлов, которые могут быть где угодно, или кусочно-линейных с числом узлом не больше данного?

[{0}]

arseniiv

Достаточно первого варианта, но если второй возможен и не сильно сложнее то он конечно предпочтительнее так как аппроксимация будет лучше.

[Евгений Машеров]

Если это функция одной переменной x, и узлы в точках $x=a_i$, то можно использовать множественную регрессию на регрессоры
$ x_i=\begin{cases} 0,&\text{если $x<a_i$;}\\ x-a_i,&\text{если $x \geq a_i$.} \end{cases} $

[arseniiv]

{0} в сообщении #919538 писал(а):

но если второй возможен и не сильно сложнее то он конечно предпочтительнее так как аппроксимация будет лучше

По идее, это просто дополнительная минимизация того, что есть, по $n$ аргументам $x_1\in\mathbb R$ и $x_2-x_1,\ldots,x_n-x_{n-1}\in(0;+\infty)$, где $x_1,\ldots,x_n$ — узлы.

[мат-ламер]

Евгений Машеров в сообщении #919541 писал(а):

Если это функция одной переменной x, и узлы в точках $x=a_i$, то можно использовать множественную регрессию на регрессоры
$ x_i=\begin{cases} 0,&\text{если $x<a_i$;}\\ x-a_i,&\text{если $x \geq a_i$.} \end{cases} $

Можно в качестве регрессоров взять кусочно-линейные функции, равные нулю на всех узлах кроме одного и единице на одном узле. Т.е. количество функций равно количеству узлов.

[{0}]

Вроде сделал. Спасибо всем ответившим!