Вероятность появления хотя бы раз

[xolodec]

Добрый день!
Не могу придумать подхода к задаче:
Из урны, содержащей $M_1$ шаров с номером 1, $M_2$ шаров с номером 2, ... , $M_N$ шаров с номером N по схеме без возвращения выбирается n шаров. Найти вероятность, что каждый из N номеров появился хотя бы раз.

Вероятность, что хотя бы раз выпал шар с номером 1, как я понимаю ( $M = \sum M_i$ )

$$ 1 - \frac{C_{M - M_1}^n}{C_{M}^n} $$

Но вот как это обобщить на $N$ разных типов?

[upgrade]

еслиб в урне было $n$ шаров с всего двумя номерами, выбирают по два шара, какая вероятность что будут выбраны два шара с одинаковым номером?

[VAL]

Принцип включения и исключения Вам в помощь.

[xolodec]

Цитата:

еслиб в урне было $n$ шаров с всего двумя номерами, выбирают по два шара, какая вероятность что будут выбраны два шара с одинаковым номером?

Вероятность выбора двух одинаковых шаров это
$P = \frac{n_1(n_1-1)}{C_n^2}$, где $n_1$ - количество шаров, которые мы хотим вытащить дважды.

Про формулу включений-исключений я знаю, благодарю, однако не понимаю, как это поможет в данной задаче.

[Shtorm]

xolodec в сообщении #918953 писал(а):

Вероятность выбора двух одинаковых шаров это
$P = \frac{n_1(n_1-1)}{C_n^2}$, где $n_1$ - количество шаров, которые мы хотим вытащить дважды.

Если всего шаров $n$, а при этом $n_1$ - количество шаров с одним номером, а $n_2$ - количество шаров с другим номером, то вероятность вытащить два шара с одинаковым номером:
$P = \frac{C_{n_1}^2+C_{n_2}^2}{C_n^2}$

-- Вт окт 14, 2014 21:18:46 --

xolodec в сообщении #918374 писал(а):

Из урны, содержащей $M_1$ шаров с номером 1, $M_2$ шаров с номером 2, ... , $M_N$ шаров с номером N по схеме без возвращения выбирается n шаров. Найти вероятность, что каждый из N номеров появился хотя бы раз.

Интересно, представим себе, что шар с определённым номером вытаскивается ровно один. А всего таких номеров шаров $N$, тогда выходит $N=n$? Или я что-то не понял?

[--mS--]

xolodec в сообщении #918953 писал(а):

Про формулу включений-исключений я знаю, благодарю, однако не понимаю, как это поможет в данной задаче.

Напрямую. Ищите вероятность противоположного события.

[VAL]

xolodec в сообщении #918953 писал(а):

Про формулу включений-исключений я знаю, благодарю, однако не понимаю, как это поможет в данной задаче.

Верно ли, что количество подходящих выборок равно $C_M^n-\sum_{i=1}^nC_{M-M_i}^n$? А если не верно, то почему?

[xolodec]

Цитата:

Верно ли, что количество подходящих выборок равно $C_M^n-\sum_{i=1}^nC_{M-M_i}^n$? А если не верно, то почему?

Цитата:

Если всего шаров $n$, а при этом $n_1$ - количество шаров с одним номером, а $n_2$ - количество шаров с другим номером

В таком случае эта формула сработает.
В случае, если всего 3 разных типа шаров, то эта формула не сработает:

$$C_M^n-\sum_{i=1}^nC_{M-M_i}^n = C_M^n - \left ( (\sum_{i=0}^n C_{M_2}^i C_{M_3}^{n-i} ) + (\sum_{i=0}^n C_{M_1}^i C_{M_3}^{n-i} ) + (\sum_{i=0}^n C_{M_1}^i C_{M_2}^{n-i} ) \right) $$

Но, кажется не сработает она только тогда, когда $M_1 \ge n$ или $M_2 \ge n$ или $M_3 \ge n$, потому что в таком случае $ C_{M_k}^{n-0} $ несколько раз будет выключено из $C_M^n$.
А вот в случае, если условие : $M_1 \ge n$ или $M_2 \ge n$ или $M_3 \ge n$ не выполнено, я затрудняюсь сказать, будет ли формула правильна.

[VAL]

1. Обнаружил у себя опечатку
Речь шла про формулу $C_M^n-\sum_{i=1}^NC_{M-M_i}^n$.

2. Почему она таки не годится для подсчета всех благоприятных выборок?
Ведь, казалось бы, мы из общего числа выборок удалили количество тех, которые нам не подходят (не содержат элементов первого множества, второго множества, и т.д.)

[xolodec]

Кажется разобрался.
Получилась такая формула для всех благоприятных выборок:

$$ C_M^n - \sum_{k = 1}^N \left ( (-1)^{k+1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < ... < i_k } C_{M - M_{i_1} - M_{i_2} - ... - M_{i_k} }^n \right ) $$

Действительно формула $C_M^n-\sum_{i=1}^NC_{M-M_i}^n$ не годится, потому что пересечение между элементами $C_{M-M_i}^n$ и $C_{M-M_j}^n$, где $i \neq j $ не пусто.

[VAL]

xolodec в сообщении #920297 писал(а):

Кажется разобрался.
Получилась такая формула для всех благоприятных выборок:

$$ C_M^n - \sum_{k = 1}^N \left ( (-1)^{k+1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < ... < i_k } C_{M - M_{i_1} - M_{i_2} - ... - M_{i_k} }^n \right ) $$

Действительно формула $C_M^n-\sum_{i=1}^NC_{M-M_i}^n$ не годится, потому что пересечение между элементами $C_{M-M_i}^n$ и $C_{M-M_j}^n$, где $i \neq j $ не пусто.

Угу.
Именно это я и имел в виду.