Но вот с интерпретацией проблемы:
1) Почему происходит расплывание?
Тут надо "на пальцах представить себе", и "почувствовать", что такое этот волновой пакет, и что такое его дисперсия.
Ведь в таком пакете собраны много длин волн (пространственных частот) и много (временны́х) частот. Из-за этого, приходится вводить несколько понятий скорости:
фазовая скорость показывает, с какой скоростью бегут гребни волн (фаза) в волновом пакете, а
групповая скорость - показывает, с какой (средней) скоростью движется сам пакет волн. Фазовую скорость посчитать просто: это
А групповую сложнее.
Представим себе модельно две волны с близкими частотами
и соответствущими волновыми числами
Такие синусоиды, как вы знаете, накладываясь, образуют
биения - синусоиду, промодулированную плавно возрастающей и убывающей (до нуля) амплитудой. Одно такое биение - прообраз нашего волнового пакета, и при добавлении других волн все остальные биения, кроме одного, исчезнут - останется один пакет. Так вот, частота биения вычисляется как разность частот
аналогично - волновое число, и отсюда получается, что скорость биения
А при переходе к волновому пакету, получится выражение для групповой скорости
Система, в которой распространяются волны (среда, или волновое уравнение), может иметь разные скорости для разных частот (длин волн) -
дисперсию, как дисперсия света в стекле, отчего призма раскладывает белый луч света в спектр. Дисперсию можно описать
дисперсионным соотношением и тогда производная от этой функции даёт нам групповую скорость (в случае без дисперсии,
и
). В уравнении Шрёдингера в дисперсионном соотношении "зашифрована" механика частицы:
и отсюда
Как видим, далеко от прямой линии.
Если бы дисперсионное соотношение было прямой линией, то пакет бы не расплывался, а просто двигался как целое с групповой скоростью (не обязательно равной фазовой). Но рассмотрим дисперсионное соотношение, отклоняющееся от прямой. Будем считать волновой пакет суммой двух "подпакетов" - слагаемых, образованных верхними частотами (и волновыми числами), и соответственно, нижними частотами (и волновыми числами). У них будут разные групповые скорости, и со временем эти "подпакеты" будут расходиться: один будет обгонять другой, а тот, соответственно, отставать. Вот так, из
и образуется расплывание пакета. Неизбежное следствие того, что уравнение Шрёдингера отображает классическую нерелятивистскую механику. (Будь у нас уравнение для фотона в вакууме, то дисперсии бы не было, и расплывания пакета - тоже. А вот для досветовой частицы с релятивистскими поправками - расплывание всё равно есть.)
Это связано с неравенством Гейзенберга?
Нет.
2) В какой-то момент пакет станет настолько широким, что говорить о частице уже глупо. И что потом? Дальше КМ не работает? Или есть более изощренные способы вычислений?
Увы, дальше никто не знает, что потом. Как-то так получается, что всё в мире не расплывается до абсурдных размеров, а какими-то взаимодействиями "поджимается" обратно. Но эти взаимодействия, как считает сегодняшняя физика, выходят за рамки КМ - точнее, относятся не к "чистой" КМ, которую описывает уравнение Шрёдингера, а относятся к "теории измерений КМ", которая описывает взаимодействие квантовых частиц и макроскопических систем - измерительных приборов и других систем, настолько больших, что их поведение неквантовое. На уровне вероятностей здесь есть простые и хорошо известные формулы. Но глубже этих формул ситуацию толком никто не знает. Возможно, будущие исследования смогут объяснить эти вероятности и другие эффекты.
Вам пока важно другое: эти нерешённые вопросы абсолютно никак не влияют на "чистую" квантовую механику! Частицу можно представлять себе как движущуюся волновую функцию - абсолютно точно! Это проверено экспериментами с огромной точностью много-много знаков после запятой, и на этом представлении построено множество других теорий и расчётов: теории ядра и элементарных частиц, теории ядерных реакций в звёздах и в горячей Вселенной после Большого Взрыва, теории химических связей и реакций, теории твёрдого тела, сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей... Если бы на этом уровне что-то "не работало", пусть даже в *-надцатом знаке после запятой, то скорей всего, мы бы жили в другой Вселенной, с другими звёздами, и с другой физикой.