Принцип неразличимости тождественных частиц

[Munin]

g______d в сообщении #918815 писал(а):

Мне тоже он нравится намного больше, чем Ландау.

Не-не-не. Мессиа не вместо, а кроме Ландау.

Ландау надо изучать хотя бы для того, чтобы привыкнуть его читать, сверяться с ним и цитировать :-)

g______d в сообщении #918815 писал(а):

Можно наоборот, загнать в ящик координату, тогда в правой части будет не интеграл, а дискретная сумма по $p$.

Обычно "физически" подразумевается именно это второе. У amon максимум опечатка.

g______d в сообщении #918815 писал(а):

Царского пути в математически строгую квантовую механику нет.

+1. Да и нецарский нужен только фанатикам.

[g______d]

Munin в сообщении #918884 писал(а):

Обычно "физически" подразумевается именно это второе. У amon максимум опечатка.

Тогда $\delta(0)$ в левой части -- это что? Символ Кронекера в импульсном пространстве? Потому что в правой части нужен объём ящика, следовательно, интегрирование ведётся по $x$, следовательно, в левой части получаем $p$.

Проблема в том, что координатную $\delta$-функцию невозможно представить интегралом, в котором будет объём координатного ящика.

[мат-ламер]

g______d в сообщении #918815 писал(а):

Фаддеев-Якубовский (Вы ведь их имеете в виду) мне не понравился. Претензия на строгость, но все сложности заметают под ковёр.

А зачем сразу грузить себя сложностями? Почему нельзя осваивать постепенно? Это я влез потому как собираюсь прочесть эту книгу, посколько написана простым языком.

[g______d]

мат-ламер в сообщении #919003 писал(а):

А зачем сразу грузить себя сложностями? Почему нельзя осваивать постепенно? Это я влез потому как собираюсь прочесть эту книгу, посколько написана простым языком.

Возможно, мои претензии связаны с тем, что мои ожидания были другими. Читать её, безусловно, можно, и даже может быть более эффективным по времени, чем "физические" книги. Но я ожидал, что она откроет мне глаза на хотя бы принципиальную возможность сделать всё строго, а оказалось, что непонятные вопросы так и остались непонятными.

[Munin]

g______d в сообщении #918993 писал(а):

Тогда $\delta(0)$ в левой части -- это что? Символ Кронекера в импульсном пространстве?

Пожалуй, что да. Просто этот дискретный спектр импульсов привычно представлять себе как "расчёску" дельта-функций.

мат-ламер в сообщении #919003 писал(а):

А зачем сразу грузить себя сложностями? Почему нельзя осваивать постепенно? Это я влез потому как собираюсь прочесть эту книгу, посколько написана простым языком.

Вам - постепенно - надо сначала прочитать более простые книги.

[g______d]

Munin в сообщении #919012 писал(а):

Пожалуй, что да. Просто этот дискретный спектр импульсов привычно представлять себе как "расчёску" дельта-функций.

Да. Но у amon речь шла именно про собственную функцию оператора координаты, и $\delta(0)$ координатную.

Против изначального $\frac{1}{\sqrt{L}}e^{ipx}$ я как раз не возражаю, это ровно то, что будет при ограниченном объёме системы с периодическими условиями (правда, $p$ будет дискретным).

[studentmk_32]

Вернемся к нашим баранам.

Следую совету Cos(x-pi/2), я рассмотрел свободную частицу, состояние которой в момент времени $t = 0$ описывается волновой функцией $\psi_0(x) = A\exp{(-\frac{x^2}{2a^2}+\frac{ip_0x}{\hbar})}$.
Я отнормировал, нашел $\psi(x,t)$ и сосчитал $\overline{x(t)}, \overline{p(t)}, \overline{(\triangle{x(t)})^2}, \overline{(\triangle{p(t)})^2}$. Сверил с Галицким - все правильно.
Но вот с интерпретацией проблемы:
1) Почему происходит расплывание? Это связано с неравенством Гейзенберга?
2) В какой-то момент пакет станет настолько широким, что говорить о частице уже глупо. И что потом? Дальше КМ не работает? Или есть более изощренные способы вычислений?

[Red_Herring]

tverdotel в сообщении #918867 писал(а):

Можно я чуть-чуть встряну? На один маленький вопрос? Заинтересовала вот эта фраза. Под ограниченностью, Вы что имеете ввиду? Что эрмитовы операторы определены в конечномерном пространстве? А в бесконечномерном этому понятию отвечают самосопряжённые операторы? Или под словом ограниченные Вы понимаете функции, на которые они дейтвуют? Или что? Поясните для меня подробнее, если Вас это не затруднит.

Эрмитов оператор = ограниченный симметрический (или самосопряженный—в этом случае разницы нет) оператор (но необязательно в конечномерном пространстве). А вот для неограниченных операторов понятия всякий самосопряженный оператор симметричен, но не наоборот. И симметричность — свойство "алгебраическое", а самосопряженность—аналитическое. См курс Анализа III.

----

В принципе загнать в ящик можно и координату, и импульс, только вне ящика функция (и ее преобразование Фурье) будет не $0$, а пренебрежимой: по норме $O(\hbar^s)$. Тогда размеры ящика удовлетворяют логарифмическому принципу неопределенности $a b \ge C_s |\log \hbar|$ (в отличие от обычного п.н. где $a,b$ не размеры ящика а средние квадратические отклонения, которые, ежу понятно, меньше, и удовлетворяют более слабому неравенству $ab \ge \hbar$).

[arseniiv]

studentmk_32 в сообщении #919043 писал(а):

В какой-то момент пакет станет настолько широким, что говорить о частице уже глупо. И что потом? Дальше КМ не работает?

Всё работает. И говорить о [квантовой] частице с какой угодно волновой функцией не глупо, даже если модуль этой функции напоминает в пространстве букву «Ы».

[Munin]

studentmk_32 в сообщении #919043 писал(а):

Но вот с интерпретацией проблемы:
1) Почему происходит расплывание?

Тут надо "на пальцах представить себе", и "почувствовать", что такое этот волновой пакет, и что такое его дисперсия.

Ведь в таком пакете собраны много длин волн (пространственных частот) и много (временны́х) частот. Из-за этого, приходится вводить несколько понятий скорости: фазовая скорость показывает, с какой скоростью бегут гребни волн (фаза) в волновом пакете, а групповая скорость - показывает, с какой (средней) скоростью движется сам пакет волн. Фазовую скорость посчитать просто: это $\omega/k.$ А групповую сложнее.

Представим себе модельно две волны с близкими частотами $\omega_1,\omega_2,$ и соответствущими волновыми числами $k_1,k_2.$ Такие синусоиды, как вы знаете, накладываясь, образуют биения - синусоиду, промодулированную плавно возрастающей и убывающей (до нуля) амплитудой. Одно такое биение - прообраз нашего волнового пакета, и при добавлении других волн все остальные биения, кроме одного, исчезнут - останется один пакет. Так вот, частота биения вычисляется как разность частот $|\omega_1-\omega_2|,$ аналогично - волновое число, и отсюда получается, что скорость биения $\Delta\omega/\Delta k.$ А при переходе к волновому пакету, получится выражение для групповой скорости $d\omega/dk.$

Система, в которой распространяются волны (среда, или волновое уравнение), может иметь разные скорости для разных частот (длин волн) - дисперсию, как дисперсия света в стекле, отчего призма раскладывает белый луч света в спектр. Дисперсию можно описать дисперсионным соотношением $\omega(k),$ и тогда производная от этой функции даёт нам групповую скорость (в случае без дисперсии, $\omega=ck,$ и $d\omega/dk=c$). В уравнении Шрёдингера в дисперсионном соотношении "зашифрована" механика частицы: $\omega=E/\hbar,$ $k=p/\hbar,$ $E=p^2/2m,$ и отсюда $\omega=(\hbar/2m)k^2.$ Как видим, далеко от прямой линии.

Если бы дисперсионное соотношение было прямой линией, то пакет бы не расплывался, а просто двигался как целое с групповой скоростью (не обязательно равной фазовой). Но рассмотрим дисперсионное соотношение, отклоняющееся от прямой. Будем считать волновой пакет суммой двух "подпакетов" - слагаемых, образованных верхними частотами (и волновыми числами), и соответственно, нижними частотами (и волновыми числами). У них будут разные групповые скорости, и со временем эти "подпакеты" будут расходиться: один будет обгонять другой, а тот, соответственно, отставать. Вот так, из $d^2\omega/dk^2\ne 0$ и образуется расплывание пакета. Неизбежное следствие того, что уравнение Шрёдингера отображает классическую нерелятивистскую механику. (Будь у нас уравнение для фотона в вакууме, то дисперсии бы не было, и расплывания пакета - тоже. А вот для досветовой частицы с релятивистскими поправками - расплывание всё равно есть.)

studentmk_32 в сообщении #919043 писал(а):

Это связано с неравенством Гейзенберга?

Нет.

studentmk_32 в сообщении #919043 писал(а):

2) В какой-то момент пакет станет настолько широким, что говорить о частице уже глупо. И что потом? Дальше КМ не работает? Или есть более изощренные способы вычислений?

Увы, дальше никто не знает, что потом. Как-то так получается, что всё в мире не расплывается до абсурдных размеров, а какими-то взаимодействиями "поджимается" обратно. Но эти взаимодействия, как считает сегодняшняя физика, выходят за рамки КМ - точнее, относятся не к "чистой" КМ, которую описывает уравнение Шрёдингера, а относятся к "теории измерений КМ", которая описывает взаимодействие квантовых частиц и макроскопических систем - измерительных приборов и других систем, настолько больших, что их поведение неквантовое. На уровне вероятностей здесь есть простые и хорошо известные формулы. Но глубже этих формул ситуацию толком никто не знает. Возможно, будущие исследования смогут объяснить эти вероятности и другие эффекты.

Вам пока важно другое: эти нерешённые вопросы абсолютно никак не влияют на "чистую" квантовую механику! Частицу можно представлять себе как движущуюся волновую функцию - абсолютно точно! Это проверено экспериментами с огромной точностью много-много знаков после запятой, и на этом представлении построено множество других теорий и расчётов: теории ядра и элементарных частиц, теории ядерных реакций в звёздах и в горячей Вселенной после Большого Взрыва, теории химических связей и реакций, теории твёрдого тела, сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей... Если бы на этом уровне что-то "не работало", пусть даже в *-надцатом знаке после запятой, то скорей всего, мы бы жили в другой Вселенной, с другими звёздами, и с другой физикой.

[fizeg]

studentmk_32 в сообщении #919043 писал(а):

И что потом? Дальше КМ не работает?

Наоборот, КМ работает, а вот представление о частице как о классическом маленьком шарике, двигающемся по детерминированной траектории, уже нет. Что вам КМ говорит - растет неопределенность по координате и последующие ее измерения будут давать случайные значения с растущей дисперсией. Что и наблюдается

Если хотите разобраться получше с переходом к классике вам придется выйти за рамки рассмотрения квантовой системы как замкнутой. Всякие измерения - то же самое, вы не можете померить что-то в замкнутой квантовой системе, не нарушив ее замкнутости (что многие почему-то отчаянно отказываются понимать). Перед тем как начать что-то читать по открытым квантовым системам хорошо бы с замкнутыми разобраться, не так ли? Как вас наставляет Munin для описания очень многих ситуаций хватает замкнутой КМ+правила Борна.

Munin

Munin в сообщении #919082 писал(а):

Но глубже этих формул ситуацию толком никто не знает.

Хороший повод вам сказать одну вещь. Вы всегда представляете тему той же декогеренции словно есть только чисто теоретические идеи, про которые совершенно неизвестно имеют ли они какое-либо отношение к реальности. Между тем последние лет 20 это очень экспериментально-насыщенная область. Да еще и с нобелем за 2012 год.

[Munin]

fizeg в сообщении #919106 писал(а):

Вы всегда представляете тему той же декогеренции словно есть только чисто теоретические идеи, про которые совершенно неизвестно имеют ли они какое-либо отношение к реальности. Между тем последние лет 20 это очень экспериментально-насыщенная область. Да еще и с нобелем за 2012 год.

К сожалению, я молчу про эксперименты, потому что про них ничего не знаю. Вот если вы осветите это обзорненько, то будет на что ссылаться :-)

[Cos(x-pi/2)]

Кстати, тоже в тему про КМ: обе нобелевские лекции уже доступны и на русском языке, они вышли в октябрьском выпуске УФН за этот год (2014):

С.Арош. Управление фотонами в ящике и изучение границы между квантовым и классическим

Д.Дж.Вайнленд. О суперпозиции, перепутанности и о том, как вырастить кота Шрёдингера

(Ссылки с этой странички)

[fizeg]

Я сам-то в этих экспериментах не спец и могу дать разве что ссылки на некоторые громкие работы.

M. Brune, E. Hagley, J. Dreyer, X. Maître, A. Maali, C. Wunderlich, J. M. Raimond, and S. Haroche, Observing the Progressive Decoherence of the “Meter” in a Quantum Measurement // Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996) (в официальном бесплатном доступе)

C. J. Myatt, B. E. King, Q. A. Turchette, C. A. Sackett, D. Kielpinski, W. M. Itano, C. Monroe and D. J. Wineland, Decoherence of quantum superpositions through coupling to engineered reservoirs // Nature 403, 269-273 (2000) (ее авторы, по-моему не совсем легально, в сети [url=tf.nist.gov/general/pdf/1508.pdf]выложили[/url])

Lucia Hackermüller, Klaus Hornberger, Björn Brezger, Anton Zeilinger, Markus Arndt, Decoherence of matter waves by thermal emission of radiation // Nature 427, 711-714 (2004) [arXiv:quant-ph/0402146]

Как видите в первых двух среди авторов фигурируют упомянутые нобелевские лауреаты. Но это громкие работы, а так в архиве например в разделе cond-mat.mes-hal должно быть довольно много работ, в которых эту самую декогеренцию изучают, пытаясь ее уменьшить, чтобы квантовые компьютеры делать. Я и сам бы рад обзор текущего состояния почитать.

-- 15.10.2014, 17:11 --

Cos(x-pi/2)
О, спасибо!

[amon]

g______d в сообщении #918815 писал(а):

не $dx$, а $dp$. Следовательно, в ящик загоняется импульс, но тогда координата становится дискретной

Согласен, каюсь описАлся. Делить надо (если надо, что тоже вопрос) на объем импульсного пространства. Просто где-то выше прозвучала фраза про корень из $\delta$-функции, а это - стандартные "грабли". Все, что хотелось сказать (сказано неуклюже, согласен) - что $\delta(x-x_0)$ нормирована как надо.