Сумма всех натуральных чисел

[warlock66613]

g______d в сообщении #918731 писал(а):

Отрицательный эффект от подобных утверждений без оговорок существенно превышает положительный

А кто говорил "без оговорок"? Я не говорил.

[g______d]

warlock66613 в сообщении #918747 писал(а):

А кто говорил "без оговорок"? Я не говорил.

Ну да, собственно, к именно Вашей формулировке претензий не так много. Но фактически Вы говорите "если поменять определение суммы ряда, то сумма будет равна ...", что несколько обесценивает утверждение, потому что мало ли как можно определение поменять.

[warlock66613]

g______d в сообщении #918759 писал(а):

Но фактически Вы говорите "если поменять определение суммы ряда, то сумма будет равна ...", что несколько обесценивает утверждение, потому что мало ли как можно определение поменять.

Да. Но тут надо конечно ещё подчеркнуть, что такая необычная сумма ряда имеет некоторые (но не все) свойства, которыми обладает обычная сумма, поэтому её и называют сумма. Ну и сам факт, что определение можно "поменять" - это же очень важный момент в математике. Нет, что ни говорите, а расказ о суммировании расходящихся рядов очень даже может (при достаточной подготовленности учащихся) обладать неплохим методическим эффектом.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #918763 писал(а):

Нет, что ни говорите, а расказ о суммировании расходящихся рядов очень даже может (при достаточной подготовленности учащихся) обладать неплохим методическим эффектом.

Спорным.

Окунь писал(а):

19. «Папа, а масса действительно зависит от скорости?» Так называется статья К. Адлера [25], опубликованная в «Американском журнале физики» в 1987 г. Вопрос, вынесенный в заглавие, был задан автору его сыном. Ответ был: «Нет!», «Впрочем, да», «На самом деле нет, но не говори об этом своему учителю». На следующий день сын прекратил заниматься физикой.

[g______d]

warlock66613 в сообщении #918763 писал(а):

Ну и сам факт, что определение можно "поменять" - это же очень важный момент в математике.

Некоторый важный момент состоит в принципиальной разнице рядов $1+2+3+\ldots$ и $1+1-1+1-\ldots$. Во втором случае обычная сумма не определена, но прекрасно определена сумма по Чезаро, и последнюю можно почти смело называть суммой; с основным определением это не конфликтует, и т. д.

А вот в случае $1+2+3+\ldots$ ситуация такая: в случаях, когда его хочется просуммировать и получить конечное значение, оказывается, что он приходит именно из $\zeta$-функции, и изначальная задача состоит в вычислении $\zeta(-1)$. Причём ряд в этой задаче возник ровно потому, что кто-то подставил $-1$ в неработающее формальное выражение. Т. е. он произошел из того, что была неправильно применена формула, и нужно "раскрутить" эту формулу обратно, чтобы всё вернулось в область строгости. Возникает естественный вопрос: зачем вообще было уходить из этой области?

Чтобы два раза не вставать, хорошая книжка про $\zeta$-функции и связь с эффектом Казимира: Klaus Kirsten, Spectral Functions in Mathematics and Physics.

[Toucan]

Сюда перенесена часть дискуссии отсюда: «Нравится ли вам нынешнее положение в школах России?»

[kp9r4d]

Кстати, вот задача (278) из Гельфанд Шень «Алгебра»:
Пусть теперь Ахиллес стал бегать в $10$ раз медленнее черепахи. Пока он пробегает расстояние до точки старта черепахи, черепаха уползает на вдесятеро большее расстояние. Когда Ахиллес добежит до этой точки, черепаха уползёт на расстояние, в сто раз большее начального, и т. д. Получаем сумму
$1 + 10 + 100 + ...$
Разумеется, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Но тем не менее в формулу
$1 + q + q^2 + ... = \frac{1}{1 - q}$
можно подставить $q = 10$ и получить «равенство»
$1 + 10 + 100 + 1000 + ... = \frac{1}{1 - 10} = -\frac{1}{9}$

Сама задача:
Можно ли придать в этой ситуации явно нелепому утверждению
«Ахиллес догонит черепаху, пробежав $-\frac{1}{9}$ метра» какой-то смысл?
Указание. Можно.

Я вот так и не смог придумать этот самый смысл, что же хотели услышать авторы?

[g______d]

kp9r4d в сообщении #919071 писал(а):

Я вот так и не смог придумать этот самый смысл, что же хотели услышать авторы?

Запустить время в обратном направлении?

[kp9r4d]

Точно, стыдно очень, что не додумался.

[nnosipov]

kp9r4d в сообщении #919071 писал(а):

Кстати, вот задача (278) из Гельфанд Шень «Алгебра»:

Не видел. Однако детей уже вовсю развлекают невозможными равенствами (подозреваю, ещё с советских времён), и ничего страшного при этом не происходит.

[Karan]

Anixx, бан на неделю за продолжение отправленной в Карантин темы, попытку захвата темы, флуд. Сообщения будут удалены.

[DiMath]

Классически от методов суммирования требуют регулярность и линейность. Когда то давно читал работу, в которой доказывается, что в любом методе, позволяющем получить данное равенство, нарушено хотя бы одно требование. Потому и ввели "законы" в теории рядов, по которым запрещаются перегруппировки, перестановки, операции с расходящимися рядами, и тд.