Сумма всех натуральных чисел

[Denis Russkih]

Недавно наткнулся на вот эту статью:

http://habrahabr.ru/post/53883/

Неужели написанное там правда, и сумма всех натуральных чисел действительно равна $(-\frac{1}{12})$ ?..

Извините, но по-моему, такой результат может свидетельствовать лишь о неприменимости выбранных методов к данной задаче. :) Ну никак невозможно — складывая целые числа — в итоге получить дробное, да ещё и отрицательное. :) Это же явный бред и притягивание за уши.

Удивляет, конечно, что к одному и тому же бредовому результату можно прийти абсолютно разными способами... Но разве к одному и тому же ошибочному результату нельзя прийти разными путями? :)

Такой результат, на мой взгляд, говорит о том, что в современных математических методах что-то сильно не так. Или же их пытаются использовать за пределами их области применимости. Но никак не о том, какова сумма всех натуральных чисел. :)

Я сразу честно скажу, что объяснения со всякими дзета-функциями понять неспособен, мне для этого мозгов и знаний не хватает. Но вот нутром чувствую, что это полный бред. :) Такой результат не просто расходится с интуицией и обыденным здравым смыслом, это было бы полбеды. (В науке очень многое с ними расходится.) Но это же просто бред! Что-то изначально лишённое смысла в принципе. :)

С таким же успехом можно сказать, что сумма всех натуральных чисел равна цветочному горшку. :)

__________

Нам не страшен серый волк. :)

[Someone]

Видите ли, сумма бесконечной последовательности чисел в арифметике не определена. Если мы хотим использовать такие "суммы", мы должны их сначала определить. Обычный метод определения — предел частичных сумм. Однако остаётся множество расходящихся рядов, у которых сумма таким образом не определяется. Для них можно придумать много самых разных определений, которые могут давать всякие неожиданные результаты.
В трёхтомнике Г.М.Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" есть специальный параграф "Суммирование расходящихся рядов". Если интересуетесь, посмотрите.

[Aritaborian]

Нутро здесь не помощник. Будучи применённой к математике, наша интуиция часто даёт осечку, so, приступая к занятием математикой, интуицию лучше оставить за порогом, чтобы не вопить потом «Но это же бред!» чуть чаще, чем каждые полчаса. Сумма всех натуральных чисел на самом деле равна минус одной двенадцатой. В некотором, впрочем, вполне определённом смысле. Если с английским у вас всё хорошо, порекомендую к прочтению статью в блоге компании Wolfram Research, где разбирается этот пример и ещё три схожих и не менее обескураживающих. А ещё — книгу В. Босса «Интуиция и математика».

[Denis Russkih]

Вот оно что. :) Значит, всё зависит от того, какие правила игры заданы изначально.

Хм, спасибо, надо будет получше изучить этот вопрос. Хотя вряд ли я что-то пойму.

__________

Нам не страшен серый волк. :)

[Aritaborian]

Denis Russkih в сообщении #917764 писал(а):

Значит, всё зависит от того, какие правила игры заданы изначально.

В точку.

[Nemiroff]

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$\sum_{n=1}^\infty 1 = 1 + 1 + 1 + \ldots = -\frac{1}{2}\qquad\eqno{(2)}$.
Складываем:
$\sum_{n=1}^\infty (n+1) = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{7}{12}\qquad\eqno{(3)}$

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$-1\qquad\eqno{(4)}$.
Складываем:
$\sum_{n=2}^\infty n = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{13}{12}\qquad\eqno{(5)}$

[Aritaborian]

Шарлатанство и надувательство. Ясно же, что для получения первых двух сумм используются разные методы, то есть, эти суммы равны минус одной двенадцатой и одной второй (без минуса, кстати) в разных смыслах, и оперировать ими подобным образом ничуть не более осмысленно, чем складывать метры с килограммами.

UPD. Ой, что-то я невнимательно смотрел. Вторая сумма у вас вообще что такое?

[g______d]

Aritaborian в сообщении #917760 писал(а):

Сумма всех натуральных чисел на самом деле равна минус одной двенадцатой.

Мне не кажется правильным говорить такую фразу, даже с оговоркой

Aritaborian в сообщении #917760 писал(а):

В некотором, впрочем, вполне определённом смысле.

Потому что есть стандартное определение суммы ряда, которое для ряда из натуральных чисел даёт $+\infty$ (в большинстве курсов анализа сумма ряда, как и любой предел, принадлежит расширенной числовой оси). А $-1/12$ равна не сумма ряда, а регуляризация суммы ряда по Дирихле. Даже в тексте по Вашей ссылке чуть ли не для каждого ряда своя регуляризация. Кроме того, очевидно, что существуют ряды, для которых разные регуляризации дадут разные ответы. Т. е. не существует общего определения суммы ряда, которое даст $-1/12$ для натуральных чисел, а есть несколько отдельных частично взаимоисключающих определений, некоторые из которых дадут $-1/12$, а некоторые нет, и выбор определения для наугад выбранного ряда можно обосновать, только зная, откуда этот ряд взялся; т. е. имея дополнительную информацию, которую ТС не предоставил.

[ex-math]

Aritaborian
Метод один и тот же как раз, просто он негодный.
Denis Russkih
Не переживайте, это просто прикол. Разумного смысла в таком определении нет.

[Aritaborian]

g______d в сообщении #917785 писал(а):

Даже в тексте по Вашей ссылке чуть ли не для каждого ряда своя регуляризация.

Да, статья именно о способах регуляризации, и для каждого ряда там она своя (Абель, Борель, Чезаро, Дирихле). И всё же я продолжу считать, что выразился корректно, сказав, что

Aritaborian в сообщении #917760 писал(а):

Сумма всех натуральных чисел на самом деле равна минус одной двенадцатой. В некотором, впрочем, вполне определённом смысле.

Эти слова недвусмысленно подразумевают, что сказавший их способен пояснить, в каком именно смысле ;-)

[Nemiroff]

Aritaborian в сообщении #917775 писал(а):

Вторая сумма у вас вообще что такое?

Как что? Значение дзета-функции в нуле.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #917775 писал(а):

UPD. Ой, что-то я невнимательно смотрел. Вторая сумма у вас вообще что такое?

Видимо, $(-1)+0+0+\ldots$

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Бечёвка или пусто.

[ratay]

В общем, я понял ТС и, в развитие его идеи, предлагаю среднюю школу назвать начальной или реальным училищем, а для поступления в ВУЗы организовать платные пятилетние подготовительные курсы. В общем, чего только не начитаешься на нашем форуме, а то на ином только матерщина, и то безграмотная.

[arseniiv]

Nemiroff в сообщении #917771 писал(а):

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$\sum_{n=1}^\infty 1 = 1 + 1 + 1 + \ldots = -\frac{1}{2}\qquad\eqno{(2)}$.
Складываем:
$\sum_{n=1}^\infty (n+1) = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{7}{12}\qquad\eqno{(3)}$

Берём
$\sum_{n=1}^\infty n = 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12}\qquad\eqno{(1)}$.
Не менее берём
$-1\qquad\eqno{(4)}$.
Складываем:
$\sum_{n=2}^\infty n = 2 + 3 + 4 + \ldots = -\frac{13}{12}\qquad\eqno{(5)}$

Разве можно переставлять члены? (Ведь второе значение должно быть правильным, так что первое — неправильное. )