Лагранжиан и полная производная

[kernel85]

Здравствуйте объясните почему добавление к Лагранжиану полной производной произвольной функции по времени не влияет на него. Спасибо.

[Sicker]

а вы подставьте получившийся лагранжиан в уравнения лагранжа

[Bozo]

Sicker в сообщении #916230 писал(а):

а вы подставьте получившийся лагранжиан в уравнения лагранжа

Да, на уравнения движения не влияет.
Но, может быть, какой-то физический смысл у этого члена в лагранжиане есть? Например, не в механике, где "движение - всё". Или это просто математическая издержка вариационного исчисления, как постоянные интегрирования - издержки интегрального?

[Red_Herring]

kernel85 в сообщении #916225 писал(а):

Здравствуйте объясните почему добавление к Лагранжиану полной производной произвольной функции по времени не влияет на него.

Потому что если $L\mapsto L+ \frac{dM}{dt}$ то $\int_{t_0}^{t_1} L\, dt\mapsto \int_{t_0}^{t_1} L\, dt+ M|_{t=t_0}^{t=t_1}$ и ни начальная, ни конечная точки не варьируются. Если бы варьировалась (вполне разумная вариационная задача), то такая добавка меняла бы граничные условия (при $t=t_0$, $t=t_1$).

[Bozo]

Спасибо.
Правильно ли я понял, что функция $M(t)$ имеет размерность действия и смысл $M|_{t=t_0}^{t=t_1}$(в случае закреплённых концов) - "начало отсчёта" величины действия?

[Red_Herring]

Да, $M(q,t)$ иммет размерность действия. Смысл $M|_{t=t_0}^{t=t_1}$(в случае закреплённых концов) - никакого особого смысла, просто ее вариация в случае закрепленных концов (и моментов $t_0$ и $t_1$ равна $0$.

[Bozo]

Благодарю за разъяснения.
Надеюсь, они были интересны и уважаемому ТС.

[Munin]

Bozo в сообщении #916891 писал(а):

Но, может быть, какой-то физический смысл у этого члена в лагранжиане есть? Например, не в механике, где "движение - всё". Или это просто математическая издержка вариационного исчисления, как постоянные интегрирования - издержки интегрального?

Скорее, второе.

[amon]

Трюк с добавлением полной производной к лагранжиану удобно использовать, если надо свести к вариационной задачу, в которой диф.уры совпадают с эйлеровыми, а гран. условия не сводятся к стандартным с целью, например, приближенно решить вариационную задачу прямыми методами. Тогда можно, например, вместо $\int\limits_a^b F(y,y',x)dx$ написать $\int\limits_a^b (F(y,y',x)+\Phi(y,x)+\Psi(y,x)y')dx$ $\Phi_y(y,x)=\Psi_x(y,x)$. В результате естественные граничные условия вместо $F_{y'}=0$ станут $F_{y'}+\Psi=0$. Впрочем, это уже было сказано выше. Просто хотел подчеркнуть, что "физический смысл" добавления полной производной - изменение гран. условий.

[kernel85]

Хотел задать вопрос, но наверно немного оффтопный вообщем Лагранжиан свободой мат. точки зависит только от квадрата скорости почему именно от квадрата?(это наверно весьма тривиально, но я не физик и мне не понятно)

[Утундрий]

kernel85 в сообщении #917364 писал(а):

Лагранжиан свободой мат. точки зависит только от квадрата скорости почему именно от квадрата?

А чтоб направление нивелировать.

[Sicker]

(Оффтоп)

Направление нивелировать можно и модулем

[Утундрий]

Sicker в сообщении #917428 писал(а):

можно и модулем

Разницы никакой, ведь вид функции от квадрата скорости ещё никак не фиксирован.

[amon]

kernel85 в сообщении #917364 писал(а):

Лагранжиан свободой мат. точки зависит только от квадрата скорости почему именно от квадрата?(это наверно весьма тривиально, но я не физик и мне не понятно)

Из эксперимента (механического) координаты и скорости полностью определяют поведение системы. Стало быть, диф.ур. не выше второго порядка, значит скорости в лагранжиане не более, чем во второй степени. Как-то так.

[Утундрий]

amon в сообщении #917500 писал(а):

диф.ур. не выше второго порядка, значит скорости в лагранжиане не более, чем во второй степени. Как-то так.

Удивляюсь я с такого объяснения! Вот взял сейчас скорость в четвёртой степени и всё равно уравнение второго порядка получил. Доктор, что я не так делаю?