Трюк с добавлением полной производной к лагранжиану удобно использовать, если надо свести к вариационной задачу, в которой диф.уры совпадают с эйлеровыми, а гран. условия не сводятся к стандартным с целью, например, приближенно решить вариационную задачу прямыми методами. Тогда можно, например, вместо

написать

. В результате естественные граничные условия вместо

станут

. Впрочем, это уже было сказано выше. Просто хотел подчеркнуть, что "физический смысл" добавления полной производной - изменение гран. условий.