Частный случай Великой теоремы Ферма

[IGOR1]

Всем математикам известна Великая теорема Ферма - не буду приводить ее формулировку. Но очевидно никто не знает что существует частный случай этой теоремы. А именно: формула $a^3+b^3=c^2$ верна для большого множества целых значений величин a, b и c.
Предлагаю участникам форума найти эти значения a, b и c.
Открою секрет - мне эти значения известны

[Mihr]

Самое нетривиальное решение:
$1^3+2^3=3^2$



Если серьёзно: почему Вы думаете, будто уравнение $a^3+b^3=c^2$ есть частный случай Великой теоремы Ферма?

[nnosipov]

IGOR1 в сообщении #914318 писал(а):

Но очевидно никто не знает что существует частный случай этой теоремы. А именно: формула a^3+b^3=c^2 верна для большого множества целых значений величин a, b и c.

Конечно, никто не знает об этом частном случае. Потому что это не частный случай.

[scwec]

В.Серпинский "О решении уравнений в целых числах" стр.66.

[IGOR1]

Случай $1^3+2^3=3^2$ не подходит так как ни одно из чисел a, b и c не должно равняться единице - это можно было понять без моего уточнения. Так же без моего уточнения можно было понять что эти числа являются взаимно простыми - у В.Серпинского в "О решении уравнений в целых числах" стр.66. эти числа не являются взаимно простыми, т.е. ссылки на Серпинского отпадают.
Итак - решение этой проблемы пока никому не известно - а ведь Эйлер поднимал этот вопрос в своих письмах - только ему это решение было известно (и насколько я понял - мне оно тоже известно)
Уважаемые участники - попытайтесь найти взаимно простые числа a, b и c (ни одно из них не равно единице) так что $a^3+b^3=c^2$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

IGOR1
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
возвращено

[Joker_vD]

$$\begin{array}{rcccl}a&=&433\lefteqn{,}&\\b&=&242&=&2\cdot11^2,\\c&=&9765&=&3^2\cdot5\cdot7\cdot31.$\end{matrix}$$

-- Чт окт 02, 2014 01:02:07 --

И да, я воспользовался формулой из Серпинского на с. 66.

[Someone]

Решения в натуральных числах, удовлетворяющие условиям $1<a\leqslant 1000$, $a<b\leqslant 10000$, $a$ и $b$ взаимно просты.
$11^3+37^3=228^2$
$23^3+1177^3=40380^2$
$56^3+65^3=671^2$
$57^3+112^3=1261^2$
$122^3+1201^3=41643^2$
$193^3+3482^3=205485^2$
$217^3+312^3=6371^2$
$242^3+433^3=9765^2$
$305^3+1064^3=35113^2$
$592^3+1617^3=66599^2$
$781^3+4019^3=255720^2$
$851^3+877^3=35928^2$
$889^3+4440^3=297037^2$

IGOR1 в сообщении #914414 писал(а):

Случай $1^3+2^3=3^2$ не подходит так как ни одно из чисел a, b и c не должно равняться единице - это можно было понять без моего уточнения.

Условие, не сформулированное явно, использовать нельзя.

Mihr в сообщении #914342 писал(а):

Если серьёзно: почему Вы думаете, будто уравнение $a^3+b^3=c^2$ есть частный случай Великой теоремы Ферма?

[Shadow]

Параметризация всех взаимнопростых решений задача интересная, но не трудная. Сводится к решению двух систем:
$\\a+b=m^2\\ a^2-ab+b^2=n^2$

а также
$\\a+b=3m^2\\ a^2-ab+b^2=3n^2$

Вторые уравнения - однородные второй степени, подставив решения в первых - опять. Ничего сложного. Только нужно рассмотреть внимательно все возможные случаи.

[scwec]

Морделл дает пять 2-параметризаций для решений исходного уравнения.
Их можно посмотреть в "Diophantine equations" L.J. Mordell на стр. 235

[IGOR1]

Браво Someone! Но очевидно приведенные вами решения в натуральных числах найдены не вами а машиной. Вы не нашли общих формул для величин a, b и c.
Браво Shadow! Но опять же вы не довели до конца решение проблемы - я буду аплодировать вам когда вы приведете общие формулы для величин a, b и c.

[nnosipov]

IGOR1 в сообщении #914912 писал(а):

я буду аплодировать вам когда вы приведете общие формулы для величин a, b и c.

scwec в сообщении #914512 писал(а):

Их можно посмотреть в "Diophantine equations" L.J. Mordell на стр. 235

Эти-то чем не устраивают?

[Shadow]

Хорошо, я решения Морделл не смотрел, попробую ничего не пропустить. Так как одно из $a,b$ должно быть нечетным, мне кажется удобнее перейти к новым переменным, зафиксировать $b$ нечетное:
1)
$\\(2a-b)+3b=2m^2\\ (2a-b)^2+3b^2=(2n)^2$
или
$\\x+3y=2m^2\\ x^2+3y^2=(2n)^2$
где $x,y$ - нечетные взаимнопростые. Решаем второе уравнение с помощью формулу разности квадратов:

$(2n+x)(2n-x)=3y^2$

$2n+x=p^2, \quad 2n-x=3q^2$
$\\x=(p^2-3q^2)/2\\ y=pq$

где $p,q$ - взаимнопростые нечетные, $p\not \equiv 0 \pmod 3$. Второй случай не рассматвираем, т.к. из первого уравнения $x \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 1 \pmod 3$
Подставляем решения в первое уравнение:
$\\p^2-3q^2+6pq=(2m)^2\\ (2p)^2-3(p-q)^2=(2m)^2\\ (2p)^2-(2m)^2=3(p-q)^2 $
$p-q=2t,\quad p^2-m^2=3t^2$. По модулю 4 $t$ - четное. Или:
$\\p+m=6u^2\\ p-m=2v^2\\ p=3u^2+v^2\\ q=3u^2+v^2-4uv$

где $u,v$ взаимнопростые разной четности, $v\not \equiv 0 \pmod 3$
А также
$\\p=u^2+3v^2\\ q=u^2+3v^2-4uv $

где $u\not \equiv 0 \pmod 3$

Или (пишу решения только для $a,b$)

$\\b=(u-v)(3u-v)(3u^2+v^2)\\ a=4uv(3u^2-3uv+v^2)\\ v \not\equiv 0 \pmod 3 $
и
$\\b=(u-v)(u-3v)(u^2+3v^2)\\ a=4uv(u^2-3uv+3v^2)\\ u\not \equiv 0 \pmod 3 $

где $u,v$ взаимнопростые разной четности.

Ладно, второй случай также по школьному решается, не буду подробно расписывать. Если чего не пропустил получается:
$\\b=-u^4+6u^2v^2+3v^4\\ a=u^4+6u^2v^2-3v^4$

$\\b=-3u^4+6u^2v^2+v^4\\ a=3u^4+6u^2v^2-v^4$

где $u,v$ разной четности.

А также
$\\b=(-3u^4+6u^2v^2+v^4)/4\\ a=(3u^4+6u^2v^2-v^4)/4$

где $u,v$ нечетные.

Напоминаю, решения только для нечетых $b$

[IGOR1]

Someone! Я аплодирую вам. Формулы, которые вы вывели, точно совпадают с теми формулами, которые я вывел 42 года назад, будучи студентом одного из Московских вузов. Я прочитал об этой задаче в одном научном журнале - этот журнал утверждал что решение этой задачи неизвестно - а задача была поставлена самим Ферма. Сейчас уровень ученых заметно возрос - щелкают такие задачи как орешки.

[Shadow]

IGOR1 в сообщении #915118 писал(а):

этот журнал утверждал что решение этой задачи неизвестно

Сильно сомневаюсь. Наверное имелось ввиду все решения уравнения, а не только взаимнопростые - уравнение не однородное, все решения нельзя вывести из взаимнопростых. Например если положить $a=tu,b=tv$, для любых взаимнопростых $u,v$ есть подходящее $t$