Вторичное квантование. Общие вопросы.

[tverdotel]

Читаю всем известную книгу Абрикосова, Горькова, Дзялошинского. Вообще, мне надо бы самостоятельно освоить технику функций Грина (Мацубаровскую, Келдышевскую и пр.), но пока возникают вопросы ещё на более раннем этапе, когда-то давно уже пройденном и хорошо забытом. Вот в частности в параграфе 6 записан гамильтониан во вторичном квантовании в полевых операторах (формула 6.4). У них написано

$$\hat{H} = \int d\mathbf{r}\left(\frac{1}{2m}\nabla\psi^+ (\mathbf{r})\nabla\psi (\mathbf{r}) + U (\mathbf{r})\psi^+(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\right)$$

Остальные члены не пишу, спин опускаю. Собственно, не ясна запись обоих этих членов. Я бы написал просто по определению

$$\hat{H} = \int d\mathbf{r}\left(\frac{1}{2m}\psi^+ (\mathbf{r})\nabla^2\psi (\mathbf{r}) + \psi^+(\mathbf{r}) U (\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\right)$$

Как они раскрыли член с лапласианом? И почему потенциальную энергию вынесли из $\psi^+ U (\mathbf{r})\psi$? Непонимание последнего самого вопроса возможно связано с неясностью на что именно действуют операторы $\psi^+$, $\psi$. Мне всегда казалось, что они действуют на состояния, но тогда любые функции зависящие от чего угодно можно выносить, но этого вроде как не делают.

[Munin]

Я думаю, не так важно то, на что действуют операторы, как то, какие между ними коммутационные соотношения. Перенос лапласиана в первом члене - а вы не пробовали интегрировать по частям? Правда, там знак меняется...

[amon]

Да-а, как все запущено... Вы не расстраивайтесь, но Вы делаете стандартный ляп студентов, которым нормальную КТП не прочитали, а сразу отправили читать АГД (Абрикосова, Горькова, Дзялошинского). Вы путаете оператор координаты в квантовой механике и "координату" $x$, от которой зависит оператор поля. Эта "координата" - тоже самое, что индекс $i$ у кв.мех. оператора $\hat{q}_i$. Он просто нумерует операторы $\hat\Psi$, и эти операторы (а других в КТП нет) на $x$ не действуют. Тоже относится и к $U(x)$. Это - то, что зовется классическим или с-числовым полем, на такие поля операторы поля не действуют, и они коммутативны (антикоммутативны, если грассмановы) с $\hat\Psi$. Во второй формуле должен быть знак минус. В общем, ищите вводный курс квантовой теории поля.

[AlexDem]

amon в сообщении #912701 писал(а):

В общем, ищите вводный курс квантовой теории поля.

Вот, а, быть может, Вы подскажете какой-нибудь курс, чтобы был по возможности:
1) Лаконичным
2) Формальным
3) Простым

Пункты $2$, $3$ и $1$ здесь не противоречат друг другу - просто хотелось бы, чтобы формально были изложены основополагающие вещи. Я когда-то пробовал читать Пескина со Шрёдером, мало что понял. Хотелось бы, чтобы все понятия были аккуратно введены с азов. Поле осцилляторов там, например... Или для этого нужно почитать сперва про неквантовые поля? Тогда что? (пожелания - те же)

[Munin]

(Оффтоп)

Про неквантовые поля - обязательно. 4-мерный формализм, лагранжева и гамильтонова формулировки теории поля - должны от зубов отлетать. Понимание поведения уравнений поля и их решений на уровне уравнений математической физики (задачи в неограниченном пространстве, задача Коши, преобразование Фурье, свободные волны, поля точечных источников).

Мне, например, пришлось такой "курс" собирать для себя по кусочкам. Поле осцилляторов - это ЛЛ-2 § 52. Квантование осциллятора - это Мессиа глава 12 (последняя глава первого тома). Ну и т. д.

Прошу прощения за влезание, пусть лучше amon ответит.

[AlexDem]

Munin в сообщении #912708 писал(а):

Прошу прощения за влезание, пусть лучше amon ответит.

Да нет, ничего - спасибо! Это полезно.

Пожалуй, я нашёл нужную формулировку - когда ещё не нужно ничего считать, а только, чтобы понимать, как всё это происходит на качественном уровне. Диаграммы фейнмана - слышал, что это элементы разложения в ряд в теории возмущений, хотелось бы понять - почему оно рисуется именно так. Возможные связи с интегралом по траекториям и т.п. Например, я в КМ не посчитаю сходу частицу в потенциальной яме (хотя даже в студенчестве считали - помню), но чтобы понять то, о чём пишет, скажем, Менский или описание экспериментов по квантовым измерениям, декогеренции - моих знаний вполне достаточно.

[amon]

AlexDem в сообщении #912703 писал(а):

Вот, а, быть может, Вы подскажете какой-нибудь курс, чтобы был по возможности:

Сложную задачу ставите. Попробуйте открыть Рамон П. Теория поля: современный вводный курс (будете книжники писать - не используйте слово " современный" в заглавии, через 30 лет народ смеяться будет). Если совсем не пойдет - попробуем еще подумать. А вообще, откройте "Колхоз" на QFT textbooks и пробуйте все подряд. Если книга Вам подходит Вы это с первых страниц почувствуете.

[AlexDem]

amon, спасибо - попробую! По КМ я примерно так и делал, как Вы говорите - прорваться в понимании помог Фейнман и потом ещё Менский. А тут материал сложнее и больше его. Но посмотрим...

[Kitozavr]

amon в сообщении #912727 писал(а):

Попробуйте открыть Рамон П

Скажите, а есть ли в интернете электронные версии этой книги с хорошо набранными формулами? Во всём, что я находил формулы набраны настолько удручающе, что читать неприятно.

(Например)

[amon]

С этим ничего не сделать - книга была так издана. Если по-бусурмански читаете - найдите английское издание.

[Munin]

AlexDem в сообщении #912720 писал(а):

Пожалуй, я нашёл нужную формулировку - когда ещё не нужно ничего считать, а только, чтобы понимать, как всё это происходит на качественном уровне.

Тогда однозначно - Хелзен-Мартин!

(Оффтоп)

amon в сообщении #912727 писал(а):

будете книжники писать - не используйте слово " современный" в заглавии, через 30 лет народ смеяться будет

А по-моему, всё нормально. Сразу видно: не замахивался человек на нетленку (она сама получилась).

Рецепт с Колхозом тоже поддерживаю. Кстати, в очередной раз его зеркала куда-то все подевались. Где его сейчас искать? (У меня есть старый скачанный каталог, но удобно иметь в сети под рукой. Да и сами книги не по помойкам искать.)

-- 27.09.2014 17:23:01 --

Kitozavr в сообщении #912730 писал(а):

Во всём, что я находил формулы набраны настолько удручающе, что читать неприятно.

Истинного джедая это не остановит!

[amon]

Munin в сообщении #912740 писал(а):

Где его сейчас искать?

У меня пол винчестера занимает, поэтому в сети не ищу, но спрошу при случае куда его сейчас запрятали.

[tverdotel]

Munin, amon спасибо.
amon, да мне вообще (грубо, конечно, говоря) ничего не читали. В смысле, КТП у меня не было вообще, в теории твёрдого тела операторов вторичного квантования не вводилось, функций Грина и подавно. Был пару лет назад отдельный курс полугодовой по БКШ (микроскопическая теория сверхпровоимости). Там вводили, конечно, вторичное квантование, но опять же про функции Грина ни слова. Сейчас вот только в аспирантуру поступил, специальность физика конденсированного состояния, и вдруг сразу говорят самостоятельно иди учи то, учи это, чтобы уровень поднять. Полноценных же курсов по квантовым методам в ФТТ у нас никто не читает.

Так. По поводу моих вопросов. То, что на $r$ нумерует состояния я вроде бы понимал. Меня смутило то, что у них для двухчастичного оператора потенциальная энергия почему-то не вынесена:

$$\ldots + \int d^3 r d^3 r' \psi^+(r)\psi^+(r')U^{(2)} (r,r')\psi (r)\psi (r') +\ldots.$$

Поэтому я подумал, что может я чего-то и не догоняю. Казалось бы, без проблем можно записать

$$\ldots + \int d^3r d^3r'U^{(2)} (r,r')\psi^+(r)\psi^+(r')\psi (r)\psi (r') +\ldots,$$

но они почему-то этого не сделали.

Далее, по поводу $\int d^3r \nabla\psi^+\nabla\psi$. Минус действительно забыл, просто потому, что писал я копипэистом, и забыл во вторую формулу добавить минус. Виноват. Интегрирование по частям. Вроде как получается так

$$\int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) = \int d^3r \nabla \psi^+\nabla\psi + \int d^3 r \psi^+\nabla^2\psi.$$

Откуда и выражается член записанный мною по определению

$$\int d^3 r \psi^+\nabla^2\psi = \int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) - \int d^3r \nabla \psi^+\nabla\psi .$$

Пока не пойму куда делся первый член после знака равно, а именно

$$\int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) = \psi^+\nabla\psi$$

в бесконечных пределах.

[amon]

Стандартный вопрос: по-английски читаете?

[Munin]

tverdotel в сообщении #912747 писал(а):

в теории твёрдого тела операторов вторичного квантования не вводилось

Этого не может быть. Там, где вводятся квазичастицы, там вводится и вторичное квантование для них, ведь иначе их просто не введёшь.

amon в сообщении #912748 писал(а):

Стандартный вопрос: по-английски читаете?

Разве на таком уровне по-русски мало литературы?

tverdotel в сообщении #912747 писал(а):

Меня смутило то, что у них для двухчастичного оператора потенциальная энергия почему-то не вынесена

Это может быть не из-за того, что нельзя вынести, а из-за того, что так понятней структура интеграла: цепочка аргументов $r-(r,r')-r'.$ Если там ведут к диаграммам, то диаграммы, по сути, способ записи таких же интегралов, и в них отдельные множители связаны между собой такими последовательностями аргументов.