2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 01:13 


24/02/13
22
Читаю всем известную книгу Абрикосова, Горькова, Дзялошинского. Вообще, мне надо бы самостоятельно освоить технику функций Грина (Мацубаровскую, Келдышевскую и пр.), но пока возникают вопросы ещё на более раннем этапе, когда-то давно уже пройденном и хорошо забытом. Вот в частности в параграфе 6 записан гамильтониан во вторичном квантовании в полевых операторах (формула 6.4). У них написано
$$\hat{H} = \int d\mathbf{r}\left(\frac{1}{2m}\nabla\psi^+ (\mathbf{r})\nabla\psi (\mathbf{r}) + U (\mathbf{r})\psi^+(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\right)$$
Остальные члены не пишу, спин опускаю. Собственно, не ясна запись обоих этих членов. Я бы написал просто по определению
$$\hat{H} = \int d\mathbf{r}\left(\frac{1}{2m}\psi^+ (\mathbf{r})\nabla^2\psi (\mathbf{r}) + \psi^+(\mathbf{r}) U (\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\right)$$
Как они раскрыли член с лапласианом? И почему потенциальную энергию вынесли из $\psi^+ U (\mathbf{r})\psi$? Непонимание последнего самого вопроса возможно связано с неясностью на что именно действуют операторы $\psi^+$, $\psi$. Мне всегда казалось, что они действуют на состояния, но тогда любые функции зависящие от чего угодно можно выносить, но этого вроде как не делают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я думаю, не так важно то, на что действуют операторы, как то, какие между ними коммутационные соотношения. Перенос лапласиана в первом члене - а вы не пробовали интегрировать по частям? Правда, там знак меняется...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Да-а, как все запущено... Вы не расстраивайтесь, но Вы делаете стандартный ляп студентов, которым нормальную КТП не прочитали, а сразу отправили читать АГД (Абрикосова, Горькова, Дзялошинского). Вы путаете оператор координаты в квантовой механике и "координату" $x$, от которой зависит оператор поля. Эта "координата" - тоже самое, что индекс $i$ у кв.мех. оператора $\hat{q}_i$. Он просто нумерует операторы $\hat\Psi$, и эти операторы (а других в КТП нет) на $x$ не действуют. Тоже относится и к $U(x)$. Это - то, что зовется классическим или с-числовым полем, на такие поля операторы поля не действуют, и они коммутативны (антикоммутативны, если грассмановы) с $\hat\Psi$. Во второй формуле должен быть знак минус. В общем, ищите вводный курс квантовой теории поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 14:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
amon в сообщении #912701 писал(а):
В общем, ищите вводный курс квантовой теории поля.

Вот, а, быть может, Вы подскажете какой-нибудь курс, чтобы был по возможности:
1) Лаконичным
2) Формальным
3) Простым

Пункты $2$, $3$ и $1$ здесь не противоречат друг другу - просто хотелось бы, чтобы формально были изложены основополагающие вещи. Я когда-то пробовал читать Пескина со Шрёдером, мало что понял. Хотелось бы, чтобы все понятия были аккуратно введены с азов. Поле осцилляторов там, например... Или для этого нужно почитать сперва про неквантовые поля? Тогда что? (пожелания - те же)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Про неквантовые поля - обязательно. 4-мерный формализм, лагранжева и гамильтонова формулировки теории поля - должны от зубов отлетать. Понимание поведения уравнений поля и их решений на уровне уравнений математической физики (задачи в неограниченном пространстве, задача Коши, преобразование Фурье, свободные волны, поля точечных источников).

Мне, например, пришлось такой "курс" собирать для себя по кусочкам. Поле осцилляторов - это ЛЛ-2 § 52. Квантование осциллятора - это Мессиа глава 12 (последняя глава первого тома). Ну и т. д.

Прошу прощения за влезание, пусть лучше amon ответит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 15:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Munin в сообщении #912708 писал(а):
Прошу прощения за влезание, пусть лучше amon ответит.

Да нет, ничего - спасибо! Это полезно.

Пожалуй, я нашёл нужную формулировку - когда ещё не нужно ничего считать, а только, чтобы понимать, как всё это происходит на качественном уровне. Диаграммы фейнмана - слышал, что это элементы разложения в ряд в теории возмущений, хотелось бы понять - почему оно рисуется именно так. Возможные связи с интегралом по траекториям и т.п. Например, я в КМ не посчитаю сходу частицу в потенциальной яме (хотя даже в студенчестве считали - помню), но чтобы понять то, о чём пишет, скажем, Менский или описание экспериментов по квантовым измерениям, декогеренции - моих знаний вполне достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
AlexDem в сообщении #912703 писал(а):
Вот, а, быть может, Вы подскажете какой-нибудь курс, чтобы был по возможности:

Сложную задачу ставите. Попробуйте открыть Рамон П. Теория поля: современный вводный курс (будете книжники писать - не используйте слово " современный" в заглавии, через 30 лет народ смеяться будет). Если совсем не пойдет - попробуем еще подумать. А вообще, откройте "Колхоз" на QFT textbooks и пробуйте все подряд. Если книга Вам подходит Вы это с первых страниц почувствуете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 15:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
amon, спасибо - попробую! По КМ я примерно так и делал, как Вы говорите - прорваться в понимании помог Фейнман и потом ещё Менский. А тут материал сложнее и больше его. Но посмотрим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 15:58 
Аватара пользователя


03/03/10
1341
amon в сообщении #912727 писал(а):
Попробуйте открыть Рамон П

Скажите, а есть ли в интернете электронные версии этой книги с хорошо набранными формулами? Во всём, что я находил формулы набраны настолько удручающе, что читать неприятно.

(Например)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
С этим ничего не сделать - книга была так издана. Если по-бусурмански читаете - найдите английское издание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
AlexDem в сообщении #912720 писал(а):
Пожалуй, я нашёл нужную формулировку - когда ещё не нужно ничего считать, а только, чтобы понимать, как всё это происходит на качественном уровне.

Тогда однозначно - Хелзен-Мартин!

(Оффтоп)

amon в сообщении #912727 писал(а):
будете книжники писать - не используйте слово " современный" в заглавии, через 30 лет народ смеяться будет

А по-моему, всё нормально. Сразу видно: не замахивался человек на нетленку (она сама получилась).


Рецепт с Колхозом тоже поддерживаю. Кстати, в очередной раз его зеркала куда-то все подевались. Где его сейчас искать? (У меня есть старый скачанный каталог, но удобно иметь в сети под рукой. Да и сами книги не по помойкам искать.)

-- 27.09.2014 17:23:01 --

Kitozavr в сообщении #912730 писал(а):
Во всём, что я находил формулы набраны настолько удручающе, что читать неприятно.

Истинного джедая это не остановит!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #912740 писал(а):
Где его сейчас искать?

У меня пол винчестера занимает, поэтому в сети не ищу, но спрошу при случае куда его сейчас запрятали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 16:33 


24/02/13
22
Munin, amon спасибо.
amon, да мне вообще (грубо, конечно, говоря) ничего не читали. В смысле, КТП у меня не было вообще, в теории твёрдого тела операторов вторичного квантования не вводилось, функций Грина и подавно. Был пару лет назад отдельный курс полугодовой по БКШ (микроскопическая теория сверхпровоимости). Там вводили, конечно, вторичное квантование, но опять же про функции Грина ни слова. Сейчас вот только в аспирантуру поступил, специальность физика конденсированного состояния, и вдруг сразу говорят самостоятельно иди учи то, учи это, чтобы уровень поднять. Полноценных же курсов по квантовым методам в ФТТ у нас никто не читает.

Так. По поводу моих вопросов. То, что на $r$ нумерует состояния я вроде бы понимал. Меня смутило то, что у них для двухчастичного оператора потенциальная энергия почему-то не вынесена:

$$\ldots + \int d^3 r d^3 r' \psi^+(r)\psi^+(r')U^{(2)} (r,r')\psi (r)\psi (r') +\ldots.$$

Поэтому я подумал, что может я чего-то и не догоняю. Казалось бы, без проблем можно записать

$$\ldots + \int d^3r d^3r'U^{(2)} (r,r')\psi^+(r)\psi^+(r')\psi (r)\psi (r') +\ldots,$$
но они почему-то этого не сделали.

Далее, по поводу $\int d^3r \nabla\psi^+\nabla\psi$. Минус действительно забыл, просто потому, что писал я копипэистом, и забыл во вторую формулу добавить минус. Виноват. Интегрирование по частям. Вроде как получается так

$$\int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) = \int d^3r \nabla \psi^+\nabla\psi + \int d^3 r \psi^+\nabla^2\psi.$$
Откуда и выражается член записанный мною по определению

$$\int d^3 r \psi^+\nabla^2\psi = \int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) - \int d^3r \nabla \psi^+\nabla\psi .$$
Пока не пойму куда делся первый член после знака равно, а именно

$$\int d^3r\nabla\left(\psi^+ \nabla \psi\right) = \psi^+\nabla\psi$$
в бесконечных пределах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
Стандартный вопрос: по-английски читаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование. Общие вопросы.
Сообщение27.09.2014, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
tverdotel в сообщении #912747 писал(а):
в теории твёрдого тела операторов вторичного квантования не вводилось

Этого не может быть. Там, где вводятся квазичастицы, там вводится и вторичное квантование для них, ведь иначе их просто не введёшь.

amon в сообщении #912748 писал(а):
Стандартный вопрос: по-английски читаете?

Разве на таком уровне по-русски мало литературы?

tverdotel в сообщении #912747 писал(а):
Меня смутило то, что у них для двухчастичного оператора потенциальная энергия почему-то не вынесена

Это может быть не из-за того, что нельзя вынести, а из-за того, что так понятней структура интеграла: цепочка аргументов $r-(r,r')-r'.$ Если там ведут к диаграммам, то диаграммы, по сути, способ записи таких же интегралов, и в них отдельные множители связаны между собой такими последовательностями аргументов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group