Munin,
amon спасибо.
amon, да мне вообще (грубо, конечно, говоря) ничего не читали. В смысле, КТП у меня не было вообще, в теории твёрдого тела операторов вторичного квантования не вводилось, функций Грина и подавно. Был пару лет назад отдельный курс полугодовой по БКШ (микроскопическая теория сверхпровоимости). Там вводили, конечно, вторичное квантование, но опять же про функции Грина ни слова. Сейчас вот только в аспирантуру поступил, специальность физика конденсированного состояния, и вдруг сразу говорят самостоятельно иди учи то, учи это, чтобы уровень поднять. Полноценных же курсов по квантовым методам в ФТТ у нас никто не читает.
Так. По поводу моих вопросов. То, что на

нумерует состояния я вроде бы понимал. Меня смутило то, что у них для двухчастичного оператора потенциальная энергия почему-то не вынесена:

Поэтому я подумал, что может я чего-то и не догоняю. Казалось бы, без проблем можно записать

но они почему-то этого не сделали.
Далее, по поводу

. Минус действительно забыл, просто потому, что писал я копипэистом, и забыл во вторую формулу добавить минус. Виноват. Интегрирование по частям. Вроде как получается так

Откуда и выражается член записанный мною по определению

Пока не пойму куда делся первый член после знака равно, а именно

в бесконечных пределах.