объем срезанного конуса

[math_lover]

Здравствуйте!

Хочу найти объем косо срезанного конуса:


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... -beisp.png

Не получается: выбрал функции и попробовал через интеграл.

\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {r \cdot {u_1}\cos {v_1}}\\ {r \cdot {u_1}\sin {v_1}}\\ {{u_1}} \end{array}} \right),\mathop {{x_2}}\limits^ \to = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 6{u_2} - 6{v_2}}\\ {{v_2}}\\ {4 - 2{u_2} - 2{v_2}} \end{array}} \right),r \in [0,1],{u_1} \in [0,6],v \in [0,2\pi ]\]

Jacobian Det от $\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to \]$ получается $\[ - r \cdot u_1^2\]$.

Некоторые пределы для интеграла, которые я решил:

\[r\left( {{u_1},{v_1}} \right) = \frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}},{u_1}\left( {{v_1}} \right) = \frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}\]

Ну и теперь сам интеграл:

\[V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_{\frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}}^6 {\int\limits_{\frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}}}^1 {r \cdot u_1^2} } } drd{u_1}d{v_1}\]

Ну и начинаются проблемы хотя-бы в Mathematica 7. Это как-то предполагалось, например $\[\mathop {\lim }\limits_{{u_1} \to 0} \frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}} = \infty \]$

Но в чем точно проблема (этот интеграл не конвергирует), и может быть я просто неправильно пределы поставил, не знаю. Помогите решить.
Спасибо.

[Munin]

А вы не пробовали без извращений, в декартовой системе координат?

И простите, вам нужен объём или площадь боковой поверхности? А то рисунок наводит на подозрения.

[ratay]

Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию). А уж подробно считать - это вы сами.

[main.c]

ratay в сообщении #910060 писал(а):

Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию). А уж подробно считать - это вы сами.

А у меня вот другая идея пришла, с 1 единственным интегралом. Объём нижней части, до того места, где проходит сечение можно вычислить просто как разность соответствующих косинусов. Остаётся верхний косой кусок. Находим зависимость $S(h)$ - площади сечений параллельных основанию. По идее там будет сектор окружности определённого радиуса, и радуис, и сектор зависят от $h$, а затем считаем $\int_0^hS(x)dx$. Зависимость радиуса найти легко, поэтому ТС остаётся только найти зависимость угла сектора.

[Munin]

ratay в сообщении #910060 писал(а):

Попробуйте без интегралов, именно в декартовой системе, как было сказано. Посчитали объем исходного конуса, выкинули объем отрезанной части (тут еще пригодится и то, что объем конуса зависит от высоты, но не зависит от угла наклона вертикальной оси к основанию).

Я имел в виду декартову систему именно для интегрирования. Ваш способ ещё проще, но он как раз декартовой системы не требует вообще. То, что я имел в виду, расписал main.c.

main.c в сообщении #910070 писал(а):

По идее там будет сектор окружности определённого радиуса

Вот только не сектор, а сегмент. И сегмент можно характеризовать не только углом, но и высотой, здесь это проще.

[main.c]

Munin в сообщении #910128 писал(а):

Вот только не сектор, а сегмент. И сегмент можно характеризовать не только углом, но и высотой, здесь это проще.

Ну да, опечатка вышла, думал об одном - написал другое.

[ratay]

Munin Да, все верно, координаты тут будут ни при чем. А способ с виду и проще, вычисления простые, но довольно длинные. С интегралами, может, проще получится.

[Munin]

ratay в сообщении #910176 писал(а):

А способ с виду и проще, вычисления простые, но довольно длинные.

Три строчки для вас - длинные? Вы длинных вычислений в жизни не видели.

[ratay]

Так ведь всегда интересно: может, еще короче получится.

[math_lover]

Спасибо за помощь.
Найти сперва объем малого конуса воспользовавшись принципом Кавальери--просто гениально и просто, хотя не берусь определять, сколько бы мне понадобилось это самому догадаться

Параллельная плоскость $\[\mathop {{x_3}}\limits^ \to = {u_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0\\ { - 2} \end{array}} \right) + {v_3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 1\\ { - 2} \end{array}} \right)\]$

Расстояние $\[d\left( {\mathop {{x_2}}\limits^ \to ,\mathop {{x_3}}\limits^ \to } \right) = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\]$ и площадь основания $\[S = 2\sqrt {10} \int\limits_{ - \frac{9}{{2\sqrt 2 }}}^{\frac{9}{{2\sqrt 2 }}} {\int\limits_{\frac{1}{{16}}\left( {5 - 16{v_2} - \sqrt {81 - 8v_2^2} } \right)}^{\frac{1}{{16}}\left( {5 - 16{v_2} + \sqrt {81 - 8v_2^2} } \right)} {d{u_2}d{v_2}} } = \frac{{81\sqrt 5 \pi }}{{16}}\]$.

$\[{V_{\textit{Искомое}}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{{81\sqrt 5 \pi }}{{16}} \cdot \frac{9}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\pi }}{{32}}\left( {128 - 81\sqrt 2 } \right)\]$.

Но все-таки меня интересует, как через те координаты ($\[\mathop {{x_1}}\limits^ \to \]$) найти объем? Поставил я неправильные пределы? Ведь я как раз и захотел объем того тела найти, чтобы потренироваться находить объемы через интегралы. У меня такие "аномалии" уже и раньше случались--например, при отсечении плоскостью части шара.

Например, объем косо срезанного цилиндра: $\[V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{\frac{1}{2}\left( {\cos u\left( {{s_1} - {s_2}} \right) + {s_1} + {s_2}} \right)} {\int\limits_{\frac{{R\left( {2v - {s_1} - {s_2}} \right)}}{{\cos u\left( {{s_1} - {s_2}} \right)}}}^R {rdrdvdu} } } = \frac{1}{2}\pi {R^2}\left( {{s_1} + {s_2}} \right)\]$ но только в Wolfram Alpha. В Mathematica 7 интеграл не конвергирует, а задал $\[{s_1},{s_2},R\]$ числами--в обоих не конвергирует.

Но теперь меня "конус" интересует: неправильные пределы или что-то другое? Можно только там объемы искать, где $Jacobian Det\[ \ne \]0$ ? Ведь на практике должны инженеры и не такие находить--надеюсь, не только с CAD-помощью

[arseniiv]

math_lover в сообщении #910365 писал(а):

не конвергирует

Расходится то бишь. Не тот интеграл, видимо, написали. Или код.

[Munin]

Вас не учили писать всё в буквах, не подставляя конкретные числа?

[math_lover]

Как видите, я находил объем косо срезанного цилиндра через буквы. А когда конус, то я уже до того, как искать объем, постарался представить, какой будет ответ или хотя бы от каких переменных зависеть будет. В этом случае, в отличии от цилиндра, не так просто. Вот я и решил использовать числа, чтобы ответ проще получился, если решил один пример то решишь и все такие же, и наоборот. А еще, я нигде не нашел формулы для объема косо срезанного конуса, это тоже подтолкнуло меня на мысль, что формула будет сложной.

[arseniiv]

Ну так что будем делать с «не конвергирует»-то? У фигуры явно конечный объём. Надо разбираться с интегралами и кодом.

[math_lover]

arseniiv в сообщении #910517 писал(а):

Ну так что будем делать с «не конвергирует»-то? У фигуры явно конечный объём. Надо разбираться с интегралами и кодом.

С интегралами не знаю как, а что за код Вы имеете ввиду, я не представляю.
Думаю, напрямую через тройной интеграл в декартовой системе координат искомую фигуру не задашь.
Вот так наверное максимально, что возможно через декартовы координаты: $\[{V_{\textit{Искомое}}} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} - \int\limits_{ - \frac{9}{4}}^{\frac{9}{2}} {\int\limits_{ - \frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} }^{\frac{1}{3}\sqrt {81 + 18x - 8{x^2}} } {\int\limits_{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^{3 + \frac{1}{3}x} 1 } } dzdydx = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} - \frac{{243\pi }}{{16\sqrt 2 }} = ...\]$

Но с интегралом $\[{V_{\textit{Искомое}}} = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_{\frac{9}{{3 - \cos {v_1}}}}^6 {\int\limits_{\frac{{3{u_1} - 9}}{{{u_1} \cdot \cos {v_1}}}}^1 {r \cdot u_1^2} } } drd{u_1}d{v_1}\]$ да, разбираться надо